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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.1 - Ex. 11

Seja f x , y , z = x + y + z + ln ⁡ ( 4 - x 2 - y 2 - z 2 ) .

  1. Calcule f ( 1,1 , 1 ) .
  2. Determine o domínio de f .

Passo 1

E aí, pessoal. Tudo certo?

Aqui nós temos uma função f ( x , y , z ) e temos que encontrar o valor dela quando x , y , z = ( 1,1 , 1 ) e o seu domínio.

Bom, para responder o item (a) basta substituir todas as variáveis da função por 1.

Já para responder o item (b) vamos analisar para quais valores de ( x , y , z ) a nossa função f x , y , z pode ser calculada.

Tranquilo, né? Então vamos lá!

Passo 2

Vamos substituir na função:

f x , y , z = x + y + z + ln ⁡ 4 - x 2 - y 2 - z 2

f 1,1 , 1 = 1 + 1 + 1 + ln ⁡ 4 - 1 2 - 1 2 - 1 2

= 3 + ln ⁡ 1

f ( 1,1 , 1 ) = 3

Passo 3

Aqui temos várias restrições:

f x , y , z = x + y + z + ln ⁡ 4 - x 2 - y 2 - z 2

Para começar, os valores nas raízes não podem ser negativos, então...

x ≥ 0

y ≥ 0

z ≥ 0

Aí ainda tem o domínio do logaritmo que é ( 0 ,   ∞ ) . Então...

4 - x 2 - y 2 - z 2 > 0

x 2 + y 2 + z 2 < 4

Juntando isso, temos:

D f = x , y , z   x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; z ≥ 0   e   x 2 + y 2 + z 2 < 4 }

Prontinho😊

Resposta

  1. f ( 1,1 , 1 ) = 3
  2. D f = x , y , z   x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; z ≥ 0   e   x 2 + y 2 + z 2 < 4 }
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