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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.4 - Ex. 14c

Seja α = 2. Classifique cada ponto crítico investigando o sistema linear correspondente. Desenhe um retrato de fase em um retângulo contendo os pontos críticos..

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos os valores críticos das equações e achar o equilíbrio. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar quais os pontos críticos, ou seja, igualar as derivadas a zero.

d x d t = 0

d y d t = 0

Oque nos leva a:

y = 3 2 α

y =   - x 2 + 4 x

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

J = 0 - 1 2 x - 4 1

J 3,3 = 0 - 1 2 1     ∴       r = 1 + i 7 2   ; r = 1 - i 7 2 → p o n t o   d e   e s p i r a l

J 1,3 = 0 - 1 - 2 1     ∴       r =   1   ; r = - 2 → p o n t o   d e   s e l a

Resposta

J 3,3 = 0 - 1 2 1     ∴       r = 1 + i 7 2   ; r = 1 - i 7 2 → p o n t o   d e   e s p i r a l

J 1,3 = 0 - 1 - 2 1     ∴       r =   1   ; r = - 2 → p o n t o   d e   s e l a

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Encontre os pontos críticos.
Esboce as retas de crescimento nulo no primeiro quadrante, como na Figura 9.4.5. Para intervalos diferentes de α, seu esboço pode se assemelhar a partes diferentes da Figura 9.4.5.
Encontre os pontos críticos.
Determine o tipo e as propriedades de estabilidade de cada ponto crítico. Dê atenção especial ao que acontece quando α passa por um ponto de bifurcação.
Esboce as retas de crescimento nulo no primeiro quadrante, como na Figura 9.4.5. Para intervalos diferentes de α, seu esboço pode se assemelhar a partes diferentes da Figura 9.4.5.