Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.7 - Ex. 47

Seja f x = cos ⁡ x 2 .

a Use um C A S para aproximar o valor máximo de f ' ' x em 0 ,   1 .

b Qual é o tamanho de n na aproximação do ponto médio de ∫ 0 1 f x d x para garantir que o erro absoluto seja menor do que 5 × 10 - 4 ? Compare seu resultado com o obtido no Exemplo 9 .

c Calcule a integral usando a aproximação pelo ponto médio com o valor de n obtido em b .

Passo 1

E aíííí, galerinha! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples.

Vamos resolver a primeira parte usando um C A S (Sistema Algébrico Computacional) chamado Desmos para nos ajudar a estimar o valor máximo da segunda derivada da função dada.

Em seguida, precisamos estimar o valor de n subdivisões para atender a uma precisão específica. Pra isso, temos que nos recordar da fórmula para estimativa do erro absoluto que, para a aproximação pelo ponto médio, é dada por:

E M ≤ b - a 3 K 2 24 n 2

Onde a e b são os intervalos de integração e K 2 é o valor máximo da segunda derivada da nossa função (iremos utilizar o valor encontrado na parte a ).

Por último, lembrando que a fórmula da aproximação é dada por:

M n = b - a n y m 1 + y m 2 + … + y m n

Vamos resolvê-la com o valor de n que encontrarmos antes.

Passo 2

Então, derivando a função f x iremos ter:

f ' x = - 2 x s e n x 2

E derivando novamente:

f ' ' x = - 2   s e n x 2 + 2 x 2 cos ⁡ x 2

Plotando o gráfico dessa função obtida no C A S , conseguimos ver no intervalo 0 ,   1 no eixo x :

Tal que o valor máximo de f ' ' x é y = - 3,845 .

Logo:

f ' ' x = 3,845

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor de subdivisões da aproximação através de:

E M ≤ b - a 3 K 2 24 n 2

Tal que o erro absoluto deve ser menor do que 5 × 10 - 4 .

Como K 2 = f ' ' x , teremos:

E M ≤ 1 - 0 3 3,845 24 n 2 ≤ 5 × 10 - 4

Ou seja:

n 2 ≥ 3,845 24 5 × 10 - 4

E, portanto:

n ≥ 17,9

Como n deve ter um valor inteiro e par, temos que o menor número de subdivisões será:

n = 18

Comparando ao resultado do Exemplo 9 , podemos ver que conseguimos diminuir o número de subdivisões necessárias para o cálculo da aproximação pelo fato de termos pego o valor máximo exato de f ' ' x , ao invés de pegarmos o valor inteiro mais próximo acima da curva como feito no Exemplo. Isso nos garante que o tamanho de n que encontramos é suficiente para obter a precisão desejada.

Passo 4

Por fim, vamos calcular a integral:

∫ 0 1 f x d x

Através do método da aproximação pelo ponto médio. Logo:

∫ 0 1 cos ⁡ x 2 d x ≈ M n = b - a n y m 1 + y m 2 + … + y m n

Para facilitar o nosso cálculo, vamos montar uma tabela e calcular o valor de cada y . Temos, então:

Tal que a aproximação será dada por:

∫ 0 1 cos ⁡ x 2 d x ≈ 1 - 0 18 1 6,28533203

Dessa forma, obtemos:

∫ 0 1 cos ⁡ x 2 d x ≈ 0,904741

Resposta

a   f ' ' x = 3,845

b   n = 18

c   ∫ 0 1 cos ⁡ x 2 d x ≈ 0,904741

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