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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.7 - Ex. 32

  1. Uma tabela de valores de uma função t é dada. Use a Regra de Simpson para estimar ∫ 0 1,6 g ( x ) d x

  2. Se 5 t(4) (x) 2 para 0 x 1,6, estime o erro envolvido na aproximação na parte (a).

Passo 1

Para a regra de Simpson,

∫ a b g x d x ≈ S n = ∆ x 3 [ g ( x 0 ) + 4 g ( x 1 ) + 2 g ( x 2 ) + 4 g ( x 3 ) + … + 2 g x n - 1 + 4 g x n - 1 + g x n ]

O valor de ∆ x é

∆ x = 1,6 - 0 8

∆ x = 1,6 8

Logo, ∆ x = 1,6 8 . O valor de n é igual a 8, que é o nosso numero de termos.

Seguindo o modelo, temos

S 8 = 1,6 8 × 3 [ g 0 + 4 g 0,2 + 2 g 0,4 + 4 g 0,6 + 2 g 0,8 + 4 g 1,0 + 2 g 1,2 + 4 g 1,4 + 2 g 1,6 ]

= 1 15 [ 12,1 + 4 × ( 11,6 ) + 2 × 11,3 + 4 × 11,1 + 2 × 11,7 + 4 × 12,2 + 2 × 12,6 + 4 × 13,0 + 2 × 13,2 ]

S 8 ≈ 19,2

Passo 2

Agora para resolvermos o erro de aproximação, temos do enunciado que

- 5 ≤ g 4 ( x ) ≤ 2

Pela fórmula do limitante de erro | f 4 x | ≤ K , então

| g 4 x | ≤ 5

Então K = 5 . Sendo E s é o erro envolvido no uso da Regra de Simpson, então

E s ≤ K b - a 5 180 n 4

Substituindo,

E s ≤ 5 1,6 - 0 5 180 ( 8 ) 4

E s ≤ 7,1 × 10 - 1

Resposta

a) S 8 ≈ 19,2

b) E s ≤ 7,1 × 10 - 1

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É dado o gráfico de uma função f . Estime ∫ 0 8 f x d x usando quatro subintervalos com (a) extremidades direitas, (b) extremidades esquerdas e (c) pontos médios.
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Se f x = ln ⁡ x - 1 ,1 ≤ x ≤ 4 , calcule a soma de Riemann com n = 6 , tomando como pontos amostrais as extremidades esquerdas. (Dê sua resposta correta até a sexta casa decimal.) O que representa a s