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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.7 - Ex. 31

(a) Use a Regra do Trapézio e os dados a seguir para estimar o valor da integral.

∫ 1 5 f ( x ) d x

(b) Se soubermos que - 2   ≤   f ' ' ( x ) ≤ 3 para todo x, estime o erro envolvido na aproximação na parte (a).

Passo 1

Para solucionarmos a questão, no trapézio, precisamos calcular o ∆ x . A regra do Trapézio é dada por

∫ a b f ( x ) d x ≈ T n = ∆ x 2 [ f ( x 0 ) + 2 f ( x 1 ) + … + 2 f ( x n - 1 ) + f ( x n ) ]

Onde:

∆ x = b - a n

Então, temos

∆ x = 5 - 1 4

∆ x = 4 4

Logo, ∆ x = 1 .

Aplicando na integral,

T 4 = 1 2 [ f 1 + 2 f 1,5 + 2 f 2,0 + 2 f 2,5 + 2 f 3,0 + 2 f 3,5 + 2 f 4,0 + 2 f 4,5 ]

= 1 2 2,4 + 2 ( 2,9 + 2 3,3 + 2 2,5 + 2 3,6 + 2 3,8 + 2 4,0 + 2 4,1 + 2 3,9 ]

T 4 ≈ 207,2

Passo 2

Estimando o erro envolvido na aproximação na parte (a).

Pela fórmula do limitante de erro | f 4 x | ≤ K , então

| f 4 x | ≤ 3

Então K = 3 . Sendo E s é o erro envolvido no uso da Regra de Simpson, então

E s ≤ 3 b - a 5 180 n 4

Substituindo,

E s ≤ 3 5 - 1 3 180 ( 8 ) 4

E s ≤ 1 2

Resposta

a) T 4 = 207,2

b) E s ≤ 1 2

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