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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 18

Seja f x = x + 2 2 x - 1 2 . Faça o seguinte:

  1. Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
  2. Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;
  3. Determine os intervalos nos quais f é crescente;
  4. Determine os intervalos nos quais f é decrescente;
  5. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Observe que f é uma função é contínua e derivável para todo x real. Assim, pelas regras de derivação:

f ' x = 2 x + 2 . 1 . x - 1 2 + x + 2 2 . 2 x - 1 . 1   ⇒

f ' x = 2 x + 2 x - 1 2 + 2 x + 2 2 x - 1 ⇒

f ' x = 2 x + 2 x - 1 x - 1 + x + 2 ⇒

f ' x = 2 x + 2 x - 1 x - 1 + x + 2 ⇒

f ' x = 2 x + 2 x - 1 2 x + 1

Como f ' ( x ) existe para todos valores de x , os pontos críticos de f ocorrem quando f ' x = 0 . Assim:

f ' x = 0 ⇒

2 x + 2 x - 1 2 x + 1 = 0

Assim, pelo menos uma das três equações ocorrem:

→ x + 2 = 0 ⇒ x = - 2

→ x - 1 = 0 ⇒ x = 1

→ 2 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 2

Assim os pontos críticos de f ocorrem quando x = - 2 = , x = 1 ou x = - 1 / 2 .

Passo 2

Para determinar se f tem um extremo relativo em x = - 2 , x = 1 ou x = - 1 2 devemos aplicar o teste da primeira derivada. Assim:

→ x < - 2 :

f ' x < 0 e f é decrescente.

→ - 2 < x < - 1 / 2 :

f ' x > 0 e f é crescente.

→ - 1 2 < x < 1 :

f ' x < 0 e f é decrescente.

→ x > 1 :

f ' x > 0 e f é crescente.

Logo f admite mínimo relativo em x = - 2 e em x = 1 e assume máximo relativo em x = - 1 2 .

Passo 3

Observando o estudo da derivada feito anteriormente podemos fazer um esboço do gráfico de f x = x + 2 2 x - 1 2 . O gráfico é dado por:

Resposta

Portanto, f x = x + 2 2 x - 1 2 é crescente no intervalo - 2 ,     - 1 2 e ( 1 ,   + ∞ ) , é decrescente em - ∞ ,   - 2 e - 1 2 ,   1 , admite mínimo relativo em x = - 2 e em x = - 1 e máximo relativo em x = - 1 2 .

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