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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 91

Suponha que f seja derivável em um intervalo I   e f ' x > 0 para todos os números x em I , exceto para um único numero c . Prove que f é crescente em todo o intervalo I .

Passo 1

Temos que mostrar que f é crescente, ou seja, dados x 1 e x 2 ,   com x 1 < x 2 ,   temos f x 1 < f ( x 2 ) . Uma Alternativa seria mostrar que f ' x > 0 ,   para todo x ∈ I .   Mas temos um ponto em que isso não acontece. Ai eis a questão, isso afeta alguma coisa ? Nãaaao! Vamos mostrar que não , seguindo a ideia da derivada positiva. Beleza?

Passo 2

Suponha que f é diferenciável em I , e f ' x > 0 ,   ∀ x ∈ I , exceto x = c . (estamos usando só as hipóteses).

Para mostrar que f é crescente em I , considere x 1 e x 2 .   Suponha, sem perda de generalidade que x 1 < x 2 . ( não temso problema se x 1 > x 2 .)

Como temos o c para atrapalhar nossa vida, temos alguns casos a analisar.

Passo 3

- Caso 1 : x 1 < x 2 < c

Considere J = x ∈ I ; x < c . Sendo assim, temos que x 1 ,   x 2 ∈ J   e f ' x > 0       ∀ x   em x 1 ,   x 2 ,   ou seja, f é crescente. Logo,

f x 1 < f x 2

Passo 4

-Caso 2 : c < x 1 < x 2

Consideremos, agora o conjunto k = x ∈ I ; x > c .  

Sendo assim, temos que x 1 ,   x 2 ∈ J   e f ' x > 0   ∀ x   em x 1 ,   x 2 ,   ou seja, f é crescente. Logo,

f x 1 < f x 2

Passo 5

- Caso 3: x 1 < x 2 = c

Considere o intervalo ( x 1 ,   x 2 ) , Como f ' x > 0 , ∀ x ∈ ( x 1 ,   x 2 ) , então f é crescente no intervalo.

Ou seja, f x 1 < f ( x 2 )

Ai fica a questão, mas e m c ? O que acontece? Tem que ter um ponto dentro do intervalo que a derivada não é positiva, não é? Certo. Veja que esse ponto existe.

Como f é derivável , pelo teorema do valor médio, existe um d ∈   ( x 1 ,   x 2 ) tal que

f ' d = f x 1 - f x 2 x 1 - x 2

Como f x 1 < f x 2

f ' d = f x 1 - f x 2 x 1 - x 2 <   f x 1 - f x 1 x 1 - x 2 = 0  

Ou seja, f ' d < 0

Passo 6

- Caso 4 : c = x 1 < x 2

Mesma prova que o caso 3

- caso 5: x 1 < c < x 2

Considere os intervalos ( x 1 , c ) e c ,   x 2 ,   temos que f é crescente em ambos, pelo teste da primeira derivada, logo,

f x 1 < f c e f c < f x 2

Logo

f ( x 1 ) < f x 2

Resposta

Em todos os casos encontramos que f ( x ) 1 < f x 2 . Como x 1 e x 2 são quaisquer, segue que f é crescente em I

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