Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 14
Seja . Faça o seguinte:
- Ache os extremos relativos de pelo teste da derivada primeira;
- Determine os valores de nos quais os extremos relativos ocorrem;
- Determine os intervalos nos quais é crescente;
- Determine os intervalos nos quais é decrescente;
- Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Observe que é uma função de divisão polinomial, logo é contínua e derivável para todo real exceto para , onde possui descontinuidade. Assim, pelas regras de derivação:
Agora vamos verificar para quais valores de , existe, já sabendo que não pertence ao domínio da função. Para isso devemos encontrar as raízes da função . Assim:
Logo, somente para , não existe, para sabermos se possui pontos críticos devemos fazer o teste para . Assim:
Como obtivemos um resultado inconclusivo, não existem pontos críticos de . Estudando mais a fundo é possível encontrar o comportamento assintótico de para o ponto de descontinuidade da função .
Passo 2
Para determinar se é crescente ou decrescente podemos testar o ponto de descontinuidade em devemos aplicar o teste da primeira derivada. Assim:
:
e é crescente.
:
e é crescente.
Como não possui extremos relativos ficaremos somente com este estudo de crescimento e decrescimento.
Passo 3
Observando o estudo da derivada feito anteriormente podemos fazer um esboço do gráfico de . O gráfico é dado por:
Resposta
Portanto, é crescente nos intervalos e , não admite extremos relativos e possui comportamento assintótico em .