Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.4 - Ex. 55
Seja , onde . Prove que em cada se, e somente se, . [Sugestão: Encontre o mínimo de .]
Passo 1
Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?
Bom, para esse exercício em específico, precisamos usar as definições e usos das derivadas. Nesse caso em questão, temos que verificar o comportamento da função e ver os pontos de máximo e mínimo valor em cada eixo.
Usando a derivada, podemos verificar se a função é crescente ou decrescente em um dado intervalo. Ainda, igualando a zero, conseguimos verificar os pontos críticos em que a função tem valor mínimo ou máximo.
Seguindo a dica do exercício, iremos resolvê-lo através do resultado do valor mínimo de .
Passo 2
Então, para encontrar o valor mínimo de , iremos aplicar a definição de derivada para a equação e encontrar os pontos críticos primeiro. Logo, teremos:
Tal que, igualando a zero, iremos descobrir que o ponto crítico é:
Passo 3
Como a função é uma função do segundo grau, ela representa uma parábola. Então para sabermos se ela possui um ponto mínimo absoluto, iremos verificar a concavidade através do método da segunda derivada.
Então, derivando a função novamente:
Visto que , então o valor da segunda derivada é positivo e, logo, a concavidade é para cima. Isso significa que a função possui valor mínimo.
Passo 4
Para nós verificarmos a inequação desejada , vamos substituir o valor do ponto crítico na função e aplicar a inequação no resultado obtido. Então, para o ponto crítico em , teremos:
Que resulta em:
Ou ainda:
Agora, para que , os valores da função acima do ponto crítico devem ser maiores ou iguais a zero também. Então, aplicando a inequação:
Isso mostra que:
Logo:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)