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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 53

53-56Use os resultados do Exercício 52.

53.

(a)Confirme gráfica e algebricamente que e - x 2 ≤ e - x ( x ≥ 1 )

(b)Calcule a integral ∫ 1 + ∞ e - x d x

(c)O que o resultado obtido em (b) diz sobre a integral ∫ 1 + ∞ e - x 2 d x ?

Passo 1

(a)Temos, respectivamente, os gráficos das funções:

Confirmamos algebricamente que e - x 2 ≤ e - x pra x assumindo valores maiores que 1, pelo seguinte exemplo. Assumindo que x = 2 :

e - 2 2 ≤ e - 2 =

e - 4 ≤ e - 2

E isso é verdade, já que - 4 é menor que - 2 . Isso vai ocorrer pra qualquer número maior ou igual a 1, como diz o enunciado.

Passo 2

(b)Sendo o cálculo de uma integral imprópria, escrevemos ela na forma de limite, assim:

∫ 1 + ∞ e - x d x = lim t → + ∞ ⁡ ∫ 1 t e - x d x

Agora calculamos a integral normalmente. Temos:

∫ 1 t e - x d x = - ∫ 1 t - e - x d x = - e - x 1 t

Aplicamos o TFC:

∫ 1 t e - x d x = - e - t - e - 1 = - e - t + e - 1

Por fim, calculamos o limite:

∫ 1 + ∞ e - x d x = lim t → + ∞ ⁡ ∫ 1 t e - x d x = l i m t → + ∞ - e - t + e - 1 =

= e - 1 + l i m t → + ∞ - e - t =

= e - 1 - e - ∞ =

= e - 1 - 0 = e - 1

Passo 3

(c)Como discutido no exercício 52, se a integral da função maior (no intervalo de integração observado) converge a um valor numérico, a integral da função menor, no mesmo intervalo deve também convergir a um valor numérico.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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