Sejam f(x) = x^(2/3) , a = -1 e b = 8 .

(a) Mostre que não há num intervalo (a, b) um ponto c tal que

f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)

(b) Explique por que o resultado de (a) não viola o Teorema do Valor Médio.

Passo 1

(a) Primeiro, vamos olhar para o gráfico de f x = x 2 3 para termos uma ideia melhor do que está acontecendo nesse intervalo ( - 1 , 8 ) :

Repare que quando x = 0 , nós temos um “bico”. Então, nesse ponto, a função não é diferenciável. Para que a equação seja verdade, a função deveria ser diferenciável em o todo intervalo ( - 1,8 ) .

Passo 2

(b) Para que satisfaça o Teorema do Valor Médio, a função precisa ser contínua no intervalo fechado e derivável no intervalo aberto. Mas, como vimos no passo anterior, a função não é derivável no intervalo, por conta desse bico em x = 0 . Por isso, o resultado na letra anterior não viola o Teorema do Valor Médio.

Resposta

Explicações e demonstrações no passo a passo.

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