Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.8 - Ex. 19
Um automóvel percorre de uma estrada reta em minutos. Prove que o velocímetro mostra, pelo menos uma vez durante o percurso, exatamente .
Passo 1
Para provar isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio, para calcular a velocidade instantânea do carro, que é o que o velocímetro mostra. Pelo TVM, supondo satisfeitas suas hipóteses, existe um ponto no meio do percurso, ou seja entre e , em que:
Ou seja, em pelo menos um ponto do percurso, o velocímetro marcou exatamente a velocidade média do carro no percurso.
Obs.: o velocímetro marca a velocidade de acordo com a função do espaço em relação ao tempo , com em horas.
Passo 2
Dito isto, podemos apenas ver qual a velocidade média do carro no percurso. Como queremos algo em , devemos passar esses para horas, o que daria , ok?
Calculando a velocidade média, temos:
Como vimos que, em pelo menos um ponto do percurso, o velocímetro marcou exatamente a velocidade média do carro no percurso por conta do TVM e agora vimos que , podemos afirmar que o velocímetro mostra, pelo menos uma vez durante o percurso, exatamente .
Resposta
Prova no passo a passo.