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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.4 - Ex. 41

Quais das séries nos Exercícios 17-54 convergem? E quais divergem? Utilize qualquer método e justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ 2 n - n n 2 n

Passo 1

Fala gente tudo bem? Nesse exercício ele quer que apliquemos um método de comparação para descobrir se a série diverge ou converge, então bora.

Vamos comparar a partir do teste do limite com a série-p divergente ∑ n = 1 ∞ 1 n :

2 n - n n 2 n 1 / n   = 2 n - n 2 n  

Agora devemos derivar para retirar essa potência de n e simplificar nossa conta:

d d n 2 n - n d d n 2 n   = 2 n l n l n   2   - 1 2 n l n l n   2    

Dividindo tudo por 2 n :

2 n l n l n   2   - 1 2 n l n l n   2     ⋅ 1 2 n 1 2 n = l n l n   2   - 1 2 n l n l n   2     = l n l n   2   l n l n   2   = 1

Portanto, a série diverge pois o limite é maior do que 0.

Vamos continuar!

Resposta

Diverge

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