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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 1.6 - Ex. 72

Simplifique a expressão

cos ( 2 tan^(- 1) x )

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos simplificar a seguinte expressão:

cos ( 2 tan^(- 1) x )

Para isso, devemos lembrar das relações trigonométricas num triângulo retângulo. Veja só:

Agora vamos lá!! 😉

Passo 2

Se chamarmos

y = tan^(- 1) x

Então

tan y = x

Então, podemos montar um triângulo retângulo que nos dê a relação acima

Passo 3

Agora, utilizando propriedades trigonométricas, temos:

cos^2 y = (1 - cos (2 y))/(2) :.

cos (2 y) = 2 cos^2 y - 1

Pelo triângulo do Passo 2, temos:

cos (y) = (1)/(sqrt(1 + x^2)) :.

cos^2 (y) = (1)/(1 + x^2)

Então

cos (2 y) = (2)/(1 + x^2) - 1 :.

cos (2 y) = (2 - 1 - x^2)/(1 + x^2) = (1 - x^2)/(1 + x^2) :.

cos (2 tan^(- 1) x) = c o s ( 2 y ) = (1 - x^2)/(1 + x^2)

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

cos (2 tan^(- 1) x) = (1 - x^2)/(1 + x^2)

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