Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 1.5 - Ex. 25
Sob condições ideais sabe-se que uma certa população de bactérias dobra a cada horas. Supondo que inicialmente existam bactérias:
a) Qual o tamanho da população após horas?
b) Qual o tamanho da população após horas?
c) Qual o tamanho da população após 20 horas?
d) Trace o gráfico da função população e estime o tempo para a população atingir bactérias.
Passo 1
Fala aí, meus queridos! Vamos dar uma olhadinha nessa questão juntos!
Esse é um problema típico sobre crescimento populacional exponencial. Mas como sabemos disso?
Se liga só! A população vai sempre ser multiplicada por um valor fixo (nesse caso , pois a população dobra) a cada intervalo de tempo. Sempre que isso acontece, temos uma função exponencial!
Vamos ver como resolver cada item dessa questão juntos!
Passo 2
No item a), precisamos encontrar tamanho da população de bactérias depois de 15 horas.
Pra começar, vamos lembrar que cada horas a população de bactérias dobra. Assim, em horas, ela vai ter dobrado cinco vezes. Olha só!
Sendo assim, descobrimos que a população depois de horas é de bactérias.
Passo 3
No item b), precisamos encontrar o tamanho da população de bactérias depois de horas. Isso significa que precisamos encontrar uma maneira de expressar o tamanho da população em função do tempo.
Como sabemos que se trata de um crescimento exponencial, vamos partir da sua expressão geral:
A partir das informações que foram dadas, conseguimos determinar os parâmetros e .
Como sabemos que a população inicial é de bactérias, podemos dizer que:
Além disso, sabemos que a população dobra a cada intervalo de tempo. Então concluímos que:
Olha só. A nossa função agora pode ser escrita nessa forma:
Legal! Pra fechar com chave de ouro essa função, precisamos lembrar que a população de bactérias dobra a cada 3 horas. Então podemos fazemos esse ajuste:
Nossa função fica assim:
Passo 4
No item c), precisamos calcular o tamanho da população depois de horas. Agora que temos a expressão da população em função do tempo, podemos fazer . Temos:
Vamos tentar simplificar esse expressão trabalhando com as potências:
Lembrando que , e utilizando a aproximação , temos:
Passo 5
Para plotarmos o gráfico, vamos calcular o valor da função pra alguns valores.
Vamos ver como esses pontos ficam no gráfico:
A seguir plotamos um esboço da função e estimamos o encontro com a reta :
Vemos que a exponencial ultrapassa a reta aproximadamente em . Assim, após aproximadamente horas a população de bactérias será superior a .
Resposta
a) bactérias
b)
c) bactérias
d) horas