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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.1 - Ex. 4

Suponha f contínua em a , b , derivável em ] a , b [ e tal que f a = f b = 0 . Suponha, ainda, que 0 < a . Prove que existe c em ] a , b [ tal que f ´ c = f c c . Interprete geometricamente.

Passo 1

Para resolver essa problema, vamos imaginar que existe uma reta que passa pela origem e que interpreta o gráfico de f em um ponto arbitrário, ou sjea, x ,   f x por consequência imaginamos que a função dessa reta será:

∆ x m = ∆ y

Onde m é o coeficiente angular da reta.

Ou seja:

m = ∆ y ∆ x

Porém, como ele passa pela origem e pelo ponto arbitrário, ficamos com:

m = f x - 0 x - 0

Onde zero represente a nossa origem, ou seja,

m = f x x

Se quisermos o ponto máximo (ou mínimo) de m precisamos derivar o lado direito:

x f ´ x - f x = 0

Agora vamos juntar essa informações!

Passo 2

Se quisermos o ponto máximo (ou mínimo) de m precisamos derivar o lado direito, então de forma análoga, ficamos com,

m ´ x = x f ´ x - f x

Então, pelo teorema de Rolle podemos dizer que para um dado ponto c existe m ´ x = 0 , assim:

0 = c f ´ c - f c

Ajeitando a equação,

f ´ c = f c c

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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