Enunciado

Seja f   derivável até 2ª ordem no intervalo fechado [ a , b ] e seja x 0 ∈ [ a , b ] . Mostre que existem M > 0 tal que, para todo x em [ a , b ]

| f x - P x | ≤ M x - x 0 2

Onde P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2

Passo 1

Para mostrar que existe M > 0   para esta situação vamos ter que comprar as duas expressões.

Para ela ser valida vamos fazer,

f ' ' x 0 2 x - x 0 2 =   M x - x 0 2

Como ela é derivável a 2ª ordem temos,

f ' ' x 0 = M

Usando o teorema

| f x - P x | ≤ M 2 x - x 0 2  

Logo existe M

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
V e r i f i q u eq u e e x = 1 + x + 1 2 x 2 + o ( x 2 )
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38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.