Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.3 - Ex. 4
Suponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original.
(a) Encontre a série de Fourier de função estendida.
(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge por três períodos.
Passo 1
Vamos começar relembrando o que é a série de Fourier. A série de Fourier é uma função da forma:
Em que e são constantes definidas para cada valor de e, corresponde ao intervalo original em que a função periódica é definida . Usamos a série de Fourier como uma representação de uma função periódica qualquer, em que os valores de podem ser aproximados pela somatória de termos da série . Agora que já relembramos o conceito da série de Fourier, vamos ao exercício.
Passo 2
O item (a) nos pede para encontrar a série de Fourier para a função periódica:
Como acabamos de relembrar, a série de Fourier é uma equação da forma:
Precisamos então obter os termos e . O intervalo de uma função escrita como série de Fourier é definido como . Então, para a nossa função . Tudo bem?
O próximo passo é o cálculo dos coeficientes. O coeficiente é definido por:
Substituindo a função :
Agora vamos determinar . Ele é dado por:
Aplicando e ficamos com
Como é um inteiro, , para qualquer valor de . Então:
Por fim, vamos calcular . Ele é dado por:
Substituindo e :
Aplicando na função:
Como a função tem valor para ímpar e 1 para par, podemos reescrevê-la como:
Nossa série fica:
Passo 3
Agora que temos a série de Fourier, vamos para o item (b). Ele nos pede para esboçar o gráfico da série para três períodos. Para isso, vamos utilizar o Excel para obter os coeficientes e e, para realizar o somatório. Aplicando a série para os intervalos , e , devemos obter algo da forma:
Esta foi a função obtida somando 10 termos da série. Podemos ver que a série já começa a se aproximar da função . Caso seja necessário uma aproximação mais fiel, deveríamos aumentar o número de termos do somatórios.
Resposta
(a) .