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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.3 - Ex. 13

Encontre a solução do problema de valor inicial

y ' ' + ω 2 y = sen ⁡ n t ,

y 0 = 0 ,

y ' 0 = 0

Em que n é um inteiro positivo e ω 2 ≠ n 2 . O que acontece se   ω 2 = n 2 ?

Passo 1

Para encontrar a solução do problema de valor inicial vamos usar uma ferramenta do capítulo 6: a transformada de Laplace. Aplicando a transformada na equação diferencial:

y ' ' + ω 2 y = sen ⁡ n t

L y ' ' + ω 2 L ( y ) = L sen ⁡ n t

s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + ω 2 Y s = n s 2 + n 2

s 2 + ω 2 Y s = n s 2 + n 2

Y s = n ( s 2 + n 2 ) 1 s 2 + ω 2

Passo 2

Para o caso em que ω 2 ≠ n 2 ficamos com:

Y s = n ( s 2 + n 2 ) ω ω s 2 + ω 2

Chamando

F s = n ( s 2 + n 2 ) → f t = sen ⁡ n t

G s = ω ω s 2 + ω 2 → g t = 1 ω sen ⁡ ω t

Então

Y s = F s G ( s )

Pelo teorema sobre a convolução:

y t = ∫ 0 t f t - τ g τ d τ

y t = ∫ 0 t sen ⁡ n t - τ 1 ω sen ⁡ ω t d τ

y t = 1 ω ∫ 0 t sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ

∫ 0 t sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ = - sen ⁡ n τ - t cos ⁡ ω τ ω 0 t - n ω ∫ 0 t cos ⁡ n ( t - τ ) cos ⁡ ω τ d τ

∫ 0 t sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ = - 1 ω ( sen ⁡ 0 cos ⁡ ω t - sen ⁡ n t cos ⁡ 0 ) - n ω ∫ 0 t cos ⁡ n ( t - τ ) cos ⁡ ω τ d τ

∫ 0 t sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ = sen ⁡ n t ω - n ω 1 ω cos ⁡ n t - τ sen ⁡ ω τ 0 t - n ω ∫ 0 t sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ

∫ 0 t sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ 1 - n 2 ω 2 = sen ⁡ n t ω - n ω 2 ( cos ⁡ 0 sen ⁡ ω t - cos ⁡ n t sen ⁡ 0 )

∫ 0 t sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ 1 - n 2 ω 2 = sen ⁡ n t ω - n sen ⁡ ω t ω 2

∫ 0 t sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ ω 2 - n 2 ω 2 = sen ⁡ n t ω - n sen ⁡ ω t ω 2

∫ 0 t sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ = ω 2 ω 2 - n 2 sen ⁡ n t ω - n sen ⁡ ω t ω 2

∫ 0 t sen ⁡ n t - τ sen ⁡ ω t d τ = ( ω sen ⁡ n t - n sen ⁡ ω t ) ( ω 2 - n 2 )

y t = 1 ω ω sen ⁡ n t - n sen ⁡ ω t ω 2 - n 2

Passo 3

Vamos agora testar o caso em que ω 2 = n 2 :

y ' ' + ω 2 y = sen ⁡ n t

y ' ' + n 2 y = sen ⁡ n t

L y ' ' + n 2 L ( y ) = L sen ⁡ n t

s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + n 2 Y s = n s 2 + n 2

s 2 + n 2 Y s = n s 2 + n 2

Y s = n ( s 2 + n 2 ) n n s 2 + n 2

Chamando

F s = n ( s 2 + n 2 ) → f t = sen ⁡ n t

G s = 1 n s 2 + ω 2 → g t = 1 n sen ⁡ n t

Então

Y s = F s G ( s )

Pelo teorema sobre a convolução:

y t = ∫ 0 t f t - τ g τ d τ

y t = ∫ 0 t sen ⁡ n t - τ 1 n sen ⁡ n t d τ

y t = ( sen ⁡ n t - n t cos ⁡ n t ) 2 n 2

Resposta

Se ω 2 ≠ n 2 : y t = 1 ω ω sen ⁡ n t - n sen ⁡ ω t ω 2 - n 2

Se ω 2 = n 2 : y t = ( sen ⁡ n t - n t cos ⁡ n t ) 2 n 2

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