Para o caso em que
ω 2 ≠ n 2
ficamos com:
Y s = n ( s 2 + n 2 ) ω ω s 2 + ω 2
Chamando
F s = n ( s 2 + n 2 ) → f t = sen n t
G s = ω ω s 2 + ω 2 → g t = 1 ω sen ω t
Então
Y s = F s G ( s )
Pelo teorema sobre a convolução:
y t = ∫ 0 t f t - τ g τ d τ
y t = ∫ 0 t sen n t - τ 1 ω sen ω t d τ
y t = 1 ω ∫ 0 t sen n t - τ sen ω t d τ
∫ 0 t sen n t - τ sen ω t d τ = - sen n τ - t cos ω τ ω 0 t - n ω ∫ 0 t cos n ( t - τ ) cos ω τ d τ
∫ 0 t sen n t - τ sen ω t d τ = - 1 ω ( sen 0 cos ω t - sen n t cos 0 ) - n ω ∫ 0 t cos n ( t - τ ) cos ω τ d τ
∫ 0 t sen n t - τ sen ω t d τ = sen n t ω - n ω 1 ω cos n t - τ sen ω τ 0 t - n ω ∫ 0 t sen n t - τ sen ω t d τ
∫ 0 t sen n t - τ sen ω t d τ 1 - n 2 ω 2 = sen n t ω - n ω 2 ( cos 0 sen ω t - cos n t sen 0 )
∫ 0 t sen n t - τ sen ω t d τ 1 - n 2 ω 2 = sen n t ω - n sen ω t ω 2
∫ 0 t sen n t - τ sen ω t d τ ω 2 - n 2 ω 2 = sen n t ω - n sen ω t ω 2
∫ 0 t sen n t - τ sen ω t d τ = ω 2 ω 2 - n 2 sen n t ω - n sen ω t ω 2
∫ 0 t sen n t - τ sen ω t d τ = ( ω sen n t - n sen ω t ) ( ω 2 - n 2 )
y t = 1 ω ω sen n t - n sen ω t ω 2 - n 2