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Exercícios de Teorema da Convergência de Fourier - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 1

Suponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original.

  1. Encontre a série de Fourier da função estendida
  2. Esboce o gráfico da função para qual a série converge por três períodos

f x = 0             - π ≤ x < 0 x                       0 ≤ x < π

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Questão 2

Seja f x = x 2 - 1 ,   x ∈ ( 0 , π )

a)Determine a série de Fourier de senos de f

b)Mostre que a série de Fourier de senos de f converge para uma função S : R → R e esboce o gráfico da função em [ - 2 π ,   2 π ]

c)Determine S 1863 π 2

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Questão 3

Seja f   : 0,2 → R a função dada por

f x = x ,     s e   0 ≤ x ≤ 1 0 ,     s e   1 < x ≤ 2

( a ) Construa a extensão par e periódica de f para toda a reta R , com período 4 , e calcule a série de Fourier desta extensão.

( b ) Quanto vale esta série nos pontos x = 1 e x = 0 ?

Não esqueça a justificativa.

( c ) Tomando x = 1 , calcule o valor da série

∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 2

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Questão 4

Seja f : - 2,2 → R , a função definida por

f x = 0   s e - 2 ≤ x < - 1   x   s e - 1 ≤ x < 1 0   s e   1 ≤ x ≤ 2

  1. Determine a série de Fourier de f
  2. Esboce o gráfico da série de Fourier obtida no item (a) no intervalo [-6,6]

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Questão 5

a) Calcule a série de Fourier da função

f x = 1 + x s e - 1 ≤ x < 0 - x + 1 s e 0 ≤ x ≤ 1

b) Encontre a soma da série

∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 2

Utilizando o item a

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Questão 6

Teste 3: Sejam f x uma função periódica de período 2 tal que f x = 4 - 4 x para 0 ≤ x ≤ 1 e f x = f x + 1 para - 1 < x < 0 , e S x a soma da sua série de Fourier. Então S 0 , S - 3 e S 3 / 2 valem, respectivamente:

  1. 2 ,   2 ,   2
  2. 2 ,   0 ,   - 2
  3. 4 ,   0 ,   2
  4. 4 ,   0 ,   - 2

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Questão 7

Dada a função

f x = - π ,     - π ≤ x < 0 x ,     0 ≤ x < π

a) Determine a série de Fourier de f

b) Esboce o gráfico da série de Fourier de f obtida no item (a) no intervalo - 3 π , 3 π .

c) Calcule a soma

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n - 1

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Questão 8

Seja f : - 2,2 → R uma função ímpar, contínua, C 1 por partes com f 1 = 0 e cujo gráfico no intervalo [ 0,2 ] está esboçado a seguir

Sendo S ( x ) sua série de Fourier, analise as afirmações a seguir:

1   S x = S x + 2     p a r a   t o d o   x ∈ R

2   S n = 0   p a r a   t o d o   n ∈ Z

3   S x = f x   p a r a   t o d o   x ∈ ] 0,2 [

Podemos afirmar que:

( a ) Apenas ( 1 ) e ( 2 ) são verdadeiras

( b ) Apenas ( 1 ) e ( 3 ) são verdadeiras

( c ) Apenas ( 2 ) e ( 3 ) são verdadeiras

( d ) Todas as afirmações são verdadeiras

( e ) Nenhuma afirmação é verdadeira

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Questão 9

Questão 7: Seja

a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x

A série de Fourier da função f , periódica de período 2 π , definida por

f x = 1                   s e         x ∈ 0 ,   π             0                 s e             x ∈ ] - π , 0 [

E seja S x sua soma. Podemos afirmar que:

  1. S x = f x para todo x ∈ ] - π ,   π ] .
  2. S π = 1 2 .
  3. S x = f x apenas se x ∈ [ 0 ,   π [ .
  4. a 0 = π 2 .
  5. b n = 2 2 n - 1 π para todo inteiro n > 0 .

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Questão 10

Questão 4: Seja f x = x 2 - 1 , para 0 ≤ x ≤ 1 e f x = f x - 1 para 1 < x ≤ 2 . Denotamos por S x a soma da série de senos da função f x . Quais são os valores de S 1 ,   S - 1   e   S - 1 2 ?

  1. 0 ,   0 , 3 4
  2. - 1 2 , 1 2 , 3 4
  3. - 1 2 , 1 2 ,   - 3 4
  4. 1 2 ,   - 1 2 , 3 4
  5. 1 2 , 1 2 ,   - 3 4

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Questão 11

Teste 11: Seja f x = 1 2 - x para 0 , 1 2 e S x a soma da série de cossenos de f . No intervalo I = 7 2 , 9 2 , S x é dada por:

  1. S x = 1 2 - x
  2. S x = 1 2 - x + 8 2
  3. S x = 1 2 - x - 8 2
  4. S x = x - 8 2

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Questão 12

Teste 12: Seja a função

f x = 2 x 2 - x + 1 ,         0 ≤ x ≤ π   2 x 2 + x - 1 ,     - π ≤ x ≤ 0

A soma S x da série de Fourier de f no intervalo - π ,   π é:

  1. S x = 2 x 2 - x + 1 ,         0 < x < π 2 x 2 + x - 1 ,     - π < x < 0 0 ,                                               x = 0 2 π 2 ,                                   x = ± π
  2. S x = 2 x 2 - x + 1 ,         0 ≤ x < π 2 x 2 + x - 1 ,     - π < x < 0 2 π 2 - π ,                                   x = ± π  
  3. S x = 2 x 2 - x + 1 ,         0 < x ≤ π 2 x 2 + x - 1 ,     - π ≤ x < 0 0 ,                                               x = 0  
  4. S x = 2 x 2 - x + 1 ,         0 < x < π 2 x 2 + x - 1 ,     - π < x < 0 0 ,                                               x = 0 2 π 2 - π ,                                   x = ± π

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Questão 13

Seja a função

f x = x 2 + 1 ,     0 < x < π x ,     - π < x < 0

A soma S ( x ) da série de Fourier de f no intervalo [ - π , π ] é:

a   S ( x ) = x 2 + 1 ,     0 < x < π x ,     - π < x < 0 1 2 ,     x = 0 π 2 + 1 + π ,     x = ± π

b   S ( x ) = x 2 + 1 ,     0 < x < π x ,     - π < x < 0 1 2 ,     x = 0 π 2 + 1 - π 2 ,     x = ± π

c   S ( x ) = x 2 + 1 ,     0 < x < π x ,     - π < x < 0 π 2 + 1 - π 2 ,     x = ± π

d   S ( x ) = x 2 + 1 ,     0 < x < π x ,     - π < x < 0 1 2 ,     x = 0

e   S ( x ) = x 2 + 1 ,     0 < x < π x ,     - π < x < 0 1 2 ,     x = 0 π 2 + 1 + π 2 ,     x = ± π

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Questão 14

Seja

f x = 1 ,     - 1 ≤ x < 0 0 ,     0 ≤ x < 1 ,       f x + 2 = f ( x )

( a ) Sem calcular a série de Fourier (use o Teorema de Fourier), responda: para que valor a série de Fourier converge em x = 0 ? (Não esqueça a justificativa.)

( b ) Calcule a séire de Fourier da função f .

( c ) Tomando x = - 1 / 2 deduza o valor da soma

∑ n = 1 ∞   - 1 n 2 n - 1

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Questão 15

Questão 5: Seja f : 0 ,   2 → R a função

f x = 1 ,                     x ∈ [ 0 ,   1 ]   1 + x ,           x ∈ ] 1,2 ]

A soma da série de cossenos da f x é:

  1. 1 - x ,                     x ∈ [ - 2 , -   1 [ 1 ,                                     x ∈ - 1 ,   1           1 + x ,                     x ∈ ] 1,2 ]                      
  2. 1 - x ,                     x ∈ [ - 2 , -   1 [ 1 ,                                     x ∈ ] - 1 ,   1 ]           1 + x ,                     x ∈ ] 1,2 ]                     3 2 ,                                   x = - 1                        
  3. 1 - x ,                     x ∈ [ - 2 , -   1 [ 1 ,                                     x ∈ ] - 1 ,   1 [           1 + x ,                     x ∈ ] 1,2 ]                     3 2 ,                                   x = ± 1                        
  4. - 1 + x ,                     x ∈ [ - 2 , -   1 [ - 1 ,                                     x ∈ ] - 1 ,   0 [           1 ,                                             x ∈ [ 0,1 [                   1 + x ,                           x ∈ ] 1,2 ]                   - 3 2 ,                                   x = - 1                        
  5. - 1 + x ,                     x ∈ [ - 2 , -   1 [ - 1 ,                                     x ∈ [ - 1 ,   0 [           1 ,                                             x ∈ [ 0,1 ]                   1 + x ,                           x ∈ ] 1,2 ]                    

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Questão 16

Considere a função f ( x ) = x definida no intervalo [ 0 , π ] .

( d ) Use o resultado do item ( c ) para mostrar que

∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n - 1 ) 2 = π 2 8

Justifique usando o teorema de Fourier.

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Questão 17

Seja f x = x 2 - 1 ,   x ∈ ( 0 , π )

a)Determine a série de Fourier de senos de f

b)Mostre que a série de Fourier de senos de f converge para uma função S : R → R e esboce o gráfico da função em [ - 2 π ,   2 π ]

c)Determine S 1863 π 2

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Questão 18

Suponha que f é uma função contínua com derivada contínua por partes.

b )   Se f : 0 , L → R , sob quais condições f ( x ) coincide com sua série de Fourier em senos para todo x satisfazendo 0 ≤ x ≤ L ?

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Questão 19

Suponha que f é uma função contínua com derivada contínua por partes.

c )   Se f : 0 , L → R , sob quais condições f ( x ) coincide com sua série de Fourier em cossenos para todo x satisfazendo 0 ≤ x ≤ L ?

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Questão 20

Suponha que f é uma função contínua com derivada contínua por partes.

a ) Se f : - L , L → R , sob quais condições f ( x ) coincide com sua série de Fourier para todo x satisfazendo - L ≤ x ≤ L ?

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Questão 21

Teste 13: seja f : - 2 ,   2 → R uma função ímpar, C 1 por partes, com f 1 = 0 e cujo gráfico no intervalo 0 ,   2 está esboçado a seguir:

Sendo S x a soma da sua série de Fourier, analise as afirmações a seguir:

  1. S 2 n = 3 2 para todo n ∈ Z
  2. S x = S x + 2 para todo x ∈ R
  3. S x = f x para todo x ∈   ] 0 ,   2 [
  4. S n = 0 para todo n ∈ Z

Podemos afirmar que:

  1. Apenas 2 e 4 são verdadeiras.
  2. Apenas 1 e 2 são verdadeiras.
  3. Apenas 2 e 3 são verdadeiras.
  4. Apenas 3 e 4 são verdadeiras.

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Questão 22

Para todas as funções cuja séries de Fourier você calculou nos exercícios 14 ( a ) ,   ( c ) e ( h ) e 15 ( a ) , ( b ) e ( c ) .

( b ) Em quais pontos x do intervalo [ - L , L ] vale que f ( x ) = S f ( x ) ?

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Questão 23

Para todas as funções cuja séries de Fourier você calculou nos exercícios 14 ( a ) ,   ( c ) e ( h ) e 15 ( a ) , ( b ) e ( c ) .

( c ) Esboce o gráfico de S f ( x ) no intervalo [ - 3 L , 3 L ]

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Questão 24

Para todas as funções cuja séries de Fourier você calculou nos exercícios 14 ( a ) ,   ( c ) e ( h ) e 15 ( a ) , ( b ) e ( c ) .

( a ) Explique por que estas funções satisfazem as hipóteses do teorema de convergência das séries de Fourier estudado nesta semana.

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Questão 25

Considere a igualdade

π 2 + 2 π ∑ n = 1 ∞ [ ( - 1 ) n - 1 ] n 2 c o s ( n x ) = | x |

Para quais valores de x ela é válida? Porquê?

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