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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.4 - Ex. 57

Suponha que a n > 0 e b n > 0 para n ≥ N (N um inteiro). Se lim n → ∞ ⁡ a n b n = ∞ e ∑ a n convergem, algo pode ser dito sobre ∑ b n ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

O enunciado nos diz que

∑ a n   c o n v e r g e

Além disso, também é dito para a gente que:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = ∞

Pelo limite acima, podemos concluir então que:

a n b n > 1

Pois se fosse ao contrário, o limite em questão seria igual a zero, ok? Com a nossa conclusão de cima, podemos ajustar para:

a n > b n

E pelo teste da comparação, temos que lembrar que:

" S e   a   s é r i e   q u e   a   g e n t e   q u e r   c o n h e c e r   f o r   m e n o r   q u e   o u t r a   s é r i e   q u e   s a b e m o s   q u e   é   c o n v e r g e n t e ,   e n t ã o   a   s é r i e   d e s c o n h e c i d a   t a m b é m   c o n v e r g e . "

Logo, pela primeira informação que tivemos, podemos dizer que:

∑ b n   c o n v e r g e

Resposta

∑ b n   c o n v e r g e

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