Suponha que lim x → - 2 ⁡ p ( x ) = 4 , lim x → - 2 ⁡ r ( x ) = 0 e lim x → - 2 ⁡ s ( x ) = - 3 . Determine

  1. lim x → - 2 ⁡ p x + r x + s ( x )
  2. lim x → - 2 ⁡ p x r x s ( x )
  3. lim x → - 2 ⁡ - 4 p x + 5 r x s x

Passo 1

Aqui não tem muito jeito, precisa decorar as propriedades mesmo. Mas, elas são muito úteis, então confia em mim que vai ajudar saber de cabeça!

Passo 2

Na letra a vamos usar a propriedade da soma. Mas como? Temos 3 funções!

Calma jovem gafanhoto, vamos chamar de f x = p x + r ( x ) . Vamos ter então

lim x → - 2 ⁡ p x + r x + s ( x ) = lim x → - 2 ⁡ f ( x ) + s ( x ) = lim x → - 2 ⁡ f ( x ) + lim x → - 2 ⁡ s ( x )

Agora é só lembrar da definição de quem é f ( x ) e usar a propriedade da soma de novo

lim x → - 2 ⁡ f x + lim x → - 2 ⁡ s x = lim x → - 2 ⁡ p x + r x + lim x → - 2 ⁡ s x = lim x → - 2 ⁡ p x + lim x → - 2 ⁡ r x + lim x → - 2 ⁡ s x = 4 + 0 + - 3 = - 1

OBS: sempre que tivermos um limite com a soma de várias funções, basta somar cada limite individualmente!

Passo 3

Na letra b vamos usar a propriedade do produto! Vamos de novo recorrer a uma função auxiliar f x = p x r ( x ) . Temos então

lim x → - 2 ⁡ p x r x s x = lim x → - 2 ⁡ f x s x = lim x → - 2 ⁡ f x lim x → - 2 ⁡ s x

Relembrando da definição de f e usando a propriedade do produto novamente, temos

lim x → - 2 ⁡ p x r x s x = lim x → - 2 ⁡ p x r x lim x → - 2 ⁡ s x = lim x → - 2 ⁡ p x lim x → - 2 ⁡ r x lim x → - 2 ⁡ s x = 4 0 - 3 = 0

Passo 4

Na letra c vamos usar a propriedade do quociente primeiro

lim x → - 2 ⁡ - 4 p x + 5 r x s x = lim x → - 2 ⁡ - 4 p x + 5 r x lim x → - 2 ⁡ s ( x )

Agora vamos usar a propriedade da soma

lim x → - 2 ⁡ - 4 p x + 5 r x lim x → - 2 ⁡ s ( x ) = lim x → - 2 ⁡ - 4 p ( x ) + lim x → - 2 ⁡ 5 r ( x ) lim x → - 2 ⁡ s ( x )

Por fim vamos usar a multiplicação por uma constante

lim x → - 2 ⁡ - 4 p ( x ) + lim x → - 2 ⁡ 5 r ( x ) lim x → - 2 ⁡ s ( x ) = - 4 lim x → - 2 ⁡ p x + 5 lim x → - 2 ⁡ r ( x ) lim x → - 2 ⁡ s ( x ) = - 4 4 + ( 5 ) ( 0 ) ( - 3 ) = 16 3

Resposta

  1. - 1
  2. 0
  3. 16 3
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