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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.2 - Ex. 56

Suponha que underset(x -> - 2)(lim) p ( x ) = 4 , underset(x -> - 2)(lim) r ( x ) = 0 e underset(x -> - 2)(lim) s ( x ) = - 3 . Determine

  1. underset(x -> - 2)(lim) (p (x) + r (x) + s ( x ))
  2. underset(x -> - 2)(lim) p (x) r (x) s ( x )
  3. underset(x -> - 2)(lim) (- 4 p (x) + 5 r (x))/(s (x))

Passo 1

Aqui não tem muito jeito, precisa decorar as propriedades mesmo. Mas, elas são muito úteis, então confia em mim que vai ajudar saber de cabeça!

Passo 2

Na letra a vamos usar a propriedade da soma. Mas como? Temos 3 funções!

Calma jovem gafanhoto, vamos chamar de f (x) = p (x) + r ( x ) . Vamos ter então

underset(x -> - 2)(lim) (p (x) + r (x) + s ( x )) = underset(x -> - 2)(lim) (f ( x ) + s ( x )) = underset(x -> - 2)(lim) f ( x ) + underset(x -> - 2)(lim) s ( x )

Agora é só lembrar da definição de quem é f ( x ) e usar a propriedade da soma de novo

underset(x -> - 2)(lim) f (x) + underset(x -> - 2)(lim) s (x) = underset(x -> - 2)(lim) (p (x) + r (x)) + underset(x -> - 2)(lim) s (x) = underset(x -> - 2)(lim) p (x) + underset(x -> - 2)(lim) r (x) + underset(x -> - 2)(lim) s (x) = (4) + (0) + (- 3) = - 1

OBS: sempre que tivermos um limite com a soma de várias funções, basta somar cada limite individualmente!

Passo 3

Na letra b vamos usar a propriedade do produto! Vamos de novo recorrer a uma função auxiliar f (x) = p (x) r ( x ) . Temos então

underset(x -> - 2)(lim) p (x) r (x) s (x) = underset(x -> - 2)(lim) f (x) s (x) = (underset(x -> - 2)(lim) f (x)) (underset(x -> - 2)(lim) s (x))

Relembrando da definição de f e usando a propriedade do produto novamente, temos

underset(x -> - 2)(lim) p (x) r (x) s (x) = (underset(x -> - 2)(lim) p (x) r (x)) (underset(x -> - 2)(lim) s (x)) = (underset(x -> - 2)(lim) p (x)) (underset(x -> - 2)(lim) r (x)) (underset(x -> - 2)(lim) s (x)) = (4) (0) (- 3) = 0

Passo 4

Na letra c vamos usar a propriedade do quociente primeiro

underset(x -> - 2)(lim) (- 4 p (x) + 5 r (x))/(s (x)) = (underset(x -> - 2)(lim) (- 4 p (x) + 5 r (x)))/(underset(x -> - 2)(lim) s ( x ))

Agora vamos usar a propriedade da soma

(underset(x -> - 2)(lim) (- 4 p (x) + 5 r (x)))/(underset(x -> - 2)(lim) s ( x )) = (underset(x -> - 2)(lim) - 4 p ( x ) + underset(x -> - 2)(lim) 5 r ( x ))/(underset(x -> - 2)(lim) s ( x ))

Por fim vamos usar a multiplicação por uma constante

(underset(x -> - 2)(lim) - 4 p ( x ) + underset(x -> - 2)(lim) 5 r ( x ))/(underset(x -> - 2)(lim) s ( x )) = (- 4 underset(x -> - 2)(lim) p (x) + 5 underset(x -> - 2)(lim) r ( x ))/(underset(x -> - 2)(lim) s ( x )) = ((- 4) (4) + ( 5 ) ( 0 ))/(( - 3 )) = (16)/(3)

Resposta

  1. - 1
  2. 0
  3. (16)/(3)
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Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,aeL , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ0 para o ϵ dado, tal que se 0x - aδ então f x - Lϵ
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