Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.1 - Ex. 14
Nos exercícios de 1 a 22 são dados bem como .
- Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um para o dado, tal que se então ;
- Usando as propriedades das desigualdades, determine um , tal que a afirmativa seja verdadeira para o valor dado de .
14)
Passo 1
Na letra a do exercício nós queremos obter um valor de , , positivo capaz de permitir que seja menor que , usando aqui somente os valores de e . Na letra b vamos comprovar os resultados obtidos na letra a, e para isso usaremos as propriedades da desigualdade.
Para começar vamos definir os valores de . Dada a definição de limite:
Assumimos que:
Sendo assim:
Agora podemos resolver as letras a e b.
Passo 2
Para resolver a letra a precisamos notar que queremos obter valores de que satisfaçam:
De acordo com as propriedades de módulo:
Resolvendo:
Sendo assim, precisamos de e :
Como tende a 2 os valores de e serão:
Para achar o , basta substituirmos os valores de na equação:
Para :
Para :
Então:
O próximo passo é comprovar este resultado através da letra b.
Passo 3
Na letra b, vamos utilizar as propriedades da desigualdade para obtermos .
Primeiro, dada a desigualdade:
E sabendo que:
Podemos substituir:
Fatorando a equação de segundo grau:
Pela definição de módulo:
Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:
Em seguida precisamos obter uma desigualdade para o termo . Essa desigualdade poderá ser obtida impondo uma restrição sendo assim podemos assumir que :
Removendo o módulo:
A partir desta desigualdade podemos chegar a somando 2 aos seus termos:
Então:
Sendo assim,
Esta afirmativa indica que uma escolha adequada para é .
Para equações não lineares é comum que o valor obtido para o pela desigualdade seja menor do que os obtidos diretamente.