Suponha que para todos os valores de . Mostre que .
Passo 1
Opa! Bora pra mais uma questão?! O enunciado nos diz que:
Para todos os valores de e pede pra a gente mostrar que.
Iremos para essa atividade utilizar o Teorema do Valor Intermediário:
O Teorema do Valor Intermediário diz que:
Se é continua no intervalo fechado e é diferençável no intervalo aberto , então
Se é derivável para qualquer , logo, é derivável em e contínua em , assim, a hipótese do Teorema do Valor Médio foi satisfeita!
Dessa forma podemos dizer que:
Passo 2
Se para qualquer , então, pelo Teorema do Valor Médio temos que:
para algum no intervalo
Ou seja:
Lembrando que:
Logo:
Substituindo :
Aweeee! Provamos!
Resposta
Desenvolvimento acima.