Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 26
Suponha que para todos os valores de . Mostre que .
Passo 1
Opa! Bora pra mais uma questão?! O enunciado nos diz que:
Para todos os valores de e pede pra a gente mostrar que.
Iremos para essa atividade utilizar o Teorema do Valor Intermediário:
O Teorema do Valor Intermediário diz que:
Se é continua no intervalo fechado e é diferençável no intervalo aberto , então
Se é derivável para qualquer , logo, é derivável em e contínua em , assim, a hipótese do Teorema do Valor Médio foi satisfeita!
Dessa forma podemos dizer que:
Passo 2
Se para qualquer , então, pelo Teorema do Valor Médio temos que:
para algum no intervalo
Ou seja:
Lembrando que:
Logo:
Substituindo :
Aweeee! Provamos!
Resposta
Desenvolvimento acima.
Exercícios de Livros Relacionados
Verifique se as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas nos intervalos e encontre todos os valores de c nesses intervalos que satisfazem a conclusão do teorema. f x = x 2 - x ; - 3 , 5
Verifique se as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas nos intervalos e encontre todos os valores de c nesses intervalos que satisfazem a conclusão do teorema. f x = x 2 - x ; [ 0 ,4 ]
Verifique se as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas nos intervalos e encontre todos os valores de c nesses intervalos que satisfazem a conclusão do teorema. f x = x 2 - 8 x + 15 ; [ 3 ,5 ]
Verifique se as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas nos intervalos e encontre todos os valores de c nesses intervalos que satisfazem a conclusão do teorema. f x = l n ( 4 + 2 x - x 2 ) ;
Verifique se as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas nos intervalos e encontre todos os valores de c nesses intervalos que satisfazem a conclusão do teorema. f x = x - 1 x ; 3 , 4