Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.8 - Ex. 5
Verifique se as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas nos intervalos e encontre todos os valores de nesses intervalos que satisfazem a conclusão do teorema.
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Passo 1
As hipóteses do teorema são que a função deve ser contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto. Vamos ver o gráfico dessa função no intervalo dado:
Como não existem “partes quebradas” na função, ou seja, ao desenhar essa função, não precisamos tirar o “lápis do papel”, podemos dizer que ela é contínua (e fica aí essa dica). Além disso, no intervalo aberto não existem “bicos”, logo não há pontos em que a função não seja diferenciável. Se pegarmos a derivada da função: , vemos que ela está definida para todos os valores de dentro dos reais.
Com isso, nossas hipóteses estão satisfeitas.
Passo 2
Segundo o Teorema do Valor Médio, as hipóteses sendo verdadeiras, se temos que o valor da função nos extremos do intervalo são iguais, existe ao menos um ponto no meio em que , ou seja, queremos que a reta tangente à função nesse ponto seja paralela à reta que passa entre os pontos e . Portanto, a derivada da função no ponto deve ser igual à da reta que passa por e .
Como , , e . Vamos achar a reta que passe pelos pontos e . A equação da reta será:
Substituindo os pontos:
E
Resolvendo o sistema, achamos que:
E
Logo, nossa reta será:
Passo 3
Agora, queremos que as derivadas da função e da reta sejam iguais, ou seja:
Pronto, esse ponto está no intervalo dado e a derivada nele é igual à derivada da reta que passa pelos pontos no extremo, então esse é o nosso cara!