Verifique se as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas nos intervalos e encontre todos os valores de c nesses intervalos que satisfazem a conclusão do teorema.

f(x) = x^2 - x ; [-3, 5]

Passo 1

As hipóteses do teorema são que a função deve ser contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto. Vamos ver o gráfico dessa função no intervalo dado:

Como não existem “partes quebradas” na função, ou seja, ao desenhar essa função, não precisamos tirar o “lápis do papel”, podemos dizer que ela é contínua (e fica aí essa dica). Além disso, no intervalo aberto - 3 , 5 não existem “bicos”, logo não há pontos em que a função não seja diferenciável. Se pegarmos a derivada da função: f ' x = 2 x - 1 , vemos que ela está definida para todos os valores de x dentro dos reais.

Com isso, nossas hipóteses estão satisfeitas.

Passo 2

Segundo o Teorema do Valor Médio, as hipóteses sendo verdadeiras, se temos que o valor da função nos extremos do intervalo são iguais, existe ao menos um ponto no meio c em que f ' c = f b - f a b - a , ou seja, queremos que a reta tangente à função nesse ponto c seja paralela à reta que passa entre os pontos a e b . Portanto, a derivada da função no ponto c deve ser igual à da reta que passa por a e b .

Como a = - 3 , f - 3 = 12 , b = 5 e f 5 = 20 . Vamos achar a reta que passe pelos pontos ( - 3,12 ) e ( 5,20 ) . A equação da reta será:

y = a x + b

Substituindo os pontos:

12 = - 3 a + b

E

20 = 5 a + b

Resolvendo o sistema, achamos que:

a = 1

E

b = 15

Logo, nossa reta será:

y = x + 15

Passo 3

Agora, queremos que as derivadas da função e da reta sejam iguais, ou seja:

2 x - 1 = 1

2 x = 2

x = 1

Pronto, esse ponto está no intervalo dado e a derivada nele é igual à derivada da reta que passa pelos pontos no extremo, então esse é o nosso cara!

c = 1

Resposta

c = 1

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