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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 22

Mostre que a equação x 4 + 4 x + c = 0 tem no máximo duas raízes reais.

Passo 1

Olá, bora macetar mais uma?

Para mostrar que a equação x 4 + 4 x + c = 0 tem no máximo duas raízes reais, podemos usar a propriedade de que um polinômio de grau n pode ter no máximo n raízes reais.

Vamos analisar os possíveis casos para o valor de c :

Se c > 0 : Para x suficientemente grande, o termo c dominará sobre os termos x 4 e 4 x .

Nesse caso, a equação x 4 + 4 x + c = 0 não terá raízes reais, pois a função será sempre positiva.

2. Se c = 0 : Nesse caso, a equação se reduz a x 4 + 4 x + c = 0 .

Podemos fatorar x como ( x x 3 +   4 =   0 ) .

Portanto, temos duas raízes reais: ( x   =   0 ) e ( x 3 +   4   =   0 ) .

A única raiz real para ( x 3 +   4   =   0 ) é x = - 4 3 então neste caso, temos duas raízes reais.

Passo 2

3. Se c < 0 : Para x suficientemente grande, o termo c será negativo, enquanto os termos ( x 4 ) e ( 4 x ) serão positivos.

Nesse caso, a equação ( x 4 +   4 x   +   c   =   0 ) terá pelo menos uma raiz real, já que a função será negativa em algum ponto.

No entanto, como um polinômio de grau 4 tem no máximo 4 raízes reais, e já encontramos uma delas, isso significa que no máximo mais uma raiz real pode existir.

Portanto, independentemente do valor de c , a equação ( x 4 +   4 x   +   c   =   0 ) terá no máximo duas raízes reais.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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