Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 22

Mostre que a equação tem no máximo duas raízes reais.

Passo 1

Olá, bora macetar mais uma?

Para mostrar que a equação tem no máximo duas raízes reais, podemos usar a propriedade de que um polinômio de grau pode ter no máximo raízes reais.

Vamos analisar os possíveis casos para o valor de

Se Para suficientemente grande, o termo dominará sobre os termos e

Nesse caso, a equação não terá raízes reais, pois a função será sempre positiva.

2. Se Nesse caso, a equação se reduz a .

Podemos fatorar como

Portanto, temos duas raízes reais: e

A única raiz real para é então neste caso, temos duas raízes reais.

Passo 2

3. Se Para suficientemente grande, o termo será negativo, enquanto os termos e serão positivos.

Nesse caso, a equação terá pelo menos uma raiz real, já que a função será negativa em algum ponto.

No entanto, como um polinômio de grau 4 tem no máximo 4 raízes reais, e já encontramos uma delas, isso significa que no máximo mais uma raiz real pode existir.

Portanto, independentemente do valor de a equação terá no máximo duas raízes reais.

Resposta

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