Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.8 - Ex. 2
Verifique se as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas nos intervalos e encontre todos os valores de nesses intervalos que satisfazem a conclusão do teorema.
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Passo 1
As hipóteses do teorema são que a função deve ser contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto. Vamos ver o gráfico dessa função no intervalo dado:
Então, essa função é definida, dentro dos reais, apenas para números positivos, então ela não é contínua em todo o conjunto dos reais, ok? Mas como estamos trabalhando no intervalo , em todo ele, a função é contínua. Além disso, no intervalo aberto não existem “bicos”, logo não há pontos em que a função não seja diferenciável. Se pegarmos a derivada da função: , vemos que ela está definida para todos os valores de dentro do intervalo , pois se ela for , explode para o infinito. Mas como o intervalo em que ela deve ser diferenciável é aberto, não temos problemas aqui também.
Com isso, nossas hipóteses estão satisfeitas.
Passo 2
Segundo o Teorema de Rolle, as hipóteses sendo verdadeiras, se temos que o valor da função nos extremos do intervalo são iguais, existe ao menos um ponto no meio em que .
Pelo gráfico, vemos que só há um ponto em que isso acontece, vamos descobrí-lo:
Pronto, esse ponto está no intervalo dado e a derivada nele é , então esse é o nosso cara!