Verifique se as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas nos intervalos e encontre todos os valores de c nesses intervalos que satisfazem a conclusão do teorema.

f(x) = x / 2 - raiz(x) ; [0, 4]

Passo 1

As hipóteses do teorema são que a função deve ser contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto. Vamos ver o gráfico dessa função no intervalo dado:

Então, essa função é definida, dentro dos reais, apenas para números positivos, então ela não é contínua em todo o conjunto dos reais, ok? Mas como estamos trabalhando no intervalo [ 0 ,   4 ] , em todo ele, a função é contínua. Além disso, no intervalo aberto ( 0 ,   4 ) não existem “bicos”, logo não há pontos em que a função não seja diferenciável. Se pegarmos a derivada da função: f ' x = 1 2 - 1 2 x , vemos que ela está definida para todos os valores de x dentro do intervalo ( 0 , + ∞ ) , pois se ela for 0 , explode para o infinito. Mas como o intervalo em que ela deve ser diferenciável é aberto, não temos problemas aqui também.

Com isso, nossas hipóteses estão satisfeitas.

Passo 2

Segundo o Teorema de Rolle, as hipóteses sendo verdadeiras, se temos que o valor da função nos extremos do intervalo são iguais, existe ao menos um ponto no meio c em que f ' c = 0 .

Pelo gráfico, vemos que só há um ponto em que isso acontece, vamos descobrí-lo:

f ' x = 1 2 - 1 2 x = 0

1 2 = 1 2 x

x = 1

x = 1

Pronto, esse ponto está no intervalo dado e a derivada nele é 0 , então esse é o nosso cara!

c = 1

Resposta

c = 1

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