Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 6.4 - Ex. 23

Um tanque está cheio de água. Encontre o trabalho necessário para bombear a água pela saída. Use a densidade da água igual a .

Passo 1

Vamos pensar no trabalho necessário para bombear um pequeno “retângulo” de água para fora do tanque:

Então vamos começar encontrando uma expressão para a massa de um desses pequenos retângulos:

E para calcular o volume do “retângulo” temos que multiplicar a sua área por uma pequena espessura :

A largura do retângulo é constante, mas o comprimento varia junto com a “profundidade” . Podemos escrever em função de se lembrarmos da equação para esse trecho da circunferência:

Então a nossa fórmula é:

E a altura pela qual esse “retângulo” deve ser erguida é a profundidade somada ao do cano por onde a água é bombeada:

Passo 2

Beleza, já temos o trabalho necessário para bombear uma desses retângulos de água que está a uma profunidade qualquer.

Para calcular o trabalho total, só precisamos integrar essa expressão com variando de (na superfície) até (no fundo do tanque):

Vamos separar essa integral em duas:

Agora preciamos resolver cada uma delas.

Passo 3

Vamos começar com a integral da esquerda:

Aqui estamos pegando a equação para a parte de cima de uma circunferência de raio e integrando ela quando vai de até :

Ou seja, estamos simplesmente calculando a área de um quarto de círculo de raio !

Passo 4

Agora vamos olhar para a integral da direita:

Essa já não tem um significado geométrico tão óbvio. Então vamos tentar uma substituição:

Então, substituindo as variáveis e os limites de integração:

Para nos livrarmos daquele sinal, vamos trocar a ordem dos limites de integração:

Passo 5

Agora vamos voltar à nossa equação para o trabalho total:

Substituindo os resultados que já calculamos:

Perceba que aqui estamos “ignorando” a aceleração da gravidade, que normalmente apareceria na fórmula do trabalho. Mas é comum, em cálculo, que o seja usado como unidade de energia.