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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.6 - Ex. 22

Um tanque na forma de um cone circular reto invertido tem 8 m de diâmetro e 10 m de profundidade. Se o tanque estiver cheio de água até uma altura de 9 m, ache o trabalho realizado para bombear a água até sua borda.

Passo 1

Sabemos que o trabalho W realizado para levantar uma massa de água em uma altura h é dado por W = m g h , sendo m a massa de água e g o valor da aceleração da gravidade. Devemos então integrar a expressão d W = g h   d m , com d m sendo a massa de um disco de água de altura infinitesimal d z , para encontrar o valor do trabalho total necessário para bombear toda a água.

Passo 2

Vamos colocar o eixo vertical z orientado pra cima com origem no fundo do tanque. Devemos achar primeiro a expressão da massa d m de cada disco de água em função de z . Podemos ver na figura abaixo que um disco que está a uma altura z m do fundo do tanque terá uma altura infinitesimal d z e um raio r que pode ser achado por semelhança de triângulos.

4 10 = r z ⇒ r = 4 z 10 = 2 z 5

O volume então do disco será d V = A d z = π 2 z 5 2 = 4 25 π z 2 d z . Sendo ρ = 1000   k g / m 3 a densidade da água, temos então d m = ρ d V = 1000 ⋅ 4 25 π z 2 d z = 160 π z 2 d z . Além disso, se o elemento está a uma altura z do fundo, será levantado uma altura de h = 10 - z . O trabalho infinitesimal realizado é então:

d W = g h   d m = g 10 - z ⋅   160 π z 2 d z = 160 π g   10 z 2 - z 3 d z

Passo 3

Agora podemos integrar para obter W de 0 até a altura da superfície da água, 9m.

W = ∫ 0 9 160 π g 10 z 2 - z 3 d z = 160 π g 10 z 3 3 - z 4 4 0 9 =

= 160 π g 10 ⋅ 9 3 3 - 9 4 4 - 10 ⋅ 0 3 3 - 0 4 4 = 160 π g ⋅ 7290 3 - 6561 4 = 63180 π g

Se g = 9,81 m/s², temos W = 3894292   J

Resposta

3.894.292   J

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