Nos Exercícios 1 e 2, uma partícula se move ao longo do eixo x sob a ação de uma força de f(x) N quando a partícula está a x m da origem. Ache o trabalho realizado quando a partícula se move do ponto onde x = a até o ponto onde x = b .

f(x) = x^2 * raiz(x^3 + 1); a = 0; b = 2

Passo 1

O exercício quer que encontremos o trabalho, e para isso usar a fórmula da integral já que aqui temos a força como uma função:

W = ∫ a b f x d x

A integral expressa o trabalho feito no movimento de um objeto de a a b por uma força f ( x ) , então nossa integral fica:

W = ∫ x = 0 2 x 2 x 3 + 1   d x

Agora podemos resolvê-la, para isso vamos começar fazendo uma Integração por Substituição, onde nosso u será:

u = x 3 + 1

E o diferencial de u :

d u = 3 x 2   d x ∴ d x = d u 3 x 2

Podemos agora fazer a substituição do d x na nossa integral:

W = ∫ x = 0 2 x 2 u d u 3 x 2 = 1 3 ∫ x = 0 2 x 2 x 2 u   d u

W = 1 3 ∫ x = 0 2 u 1 2     d u

Vamos aproveitar e alterar os limites de integração de x para u :

Para o a com x = 0 :

u = x 3 + 1 = 1

Para o b com x = 2 :

u = x 3 + 1 = 9

E nossa integral fica:

W = 1 3 ∫ u = 1 9 u 1 2     d u

Pronto, já está com uma cara melhor.

Passo 2

Encontrando as primitivas da função aplicando a Regra da Potência:

1 3 ∫ x = 0 2 u 1 2     d u = 1 3 2 3 u 3 2 x = 0 2

W = 2 9 u 3 u = 1 9

Como a integral é definida, não precisamos nos preocupar com o C.

Passo 3

Por último, basta fazer a subtração com os limites da integral:

W = 2 9 9 3 - 1 3 = 2 9 27 - 1 = 52 9 J

Resposta

W = 52 9 J

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