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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 81

Calcule a integral definida.

int_1^2 (x + 2)/((x + 1)^2) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Essa é uma daquelas tradicionais integrais em que simplificamos o denominador fazer a substituição t = x + 1 . Assim, d t = d x . Além disso, x + 2 = t + 1 .

I = int_1^2 (x + 2)/((x + 1)^2) d x = int_2^3 (t + 1)/(t^2) d t

Note que os limites de integração foram alterados!

Assim,

I = int_2^3 ((1)/(t) + t^(- 2)) d t

Passo 2

Note que agora a integração é simples:

I = (ln t - (1)/(t))_2^3

Portanto,

I = ln 3 - (1)/(3) - ln 2 + (1)/(2)

Logo,

I = ln (3)/(2) + (1)/(6)

Resposta

ln (3)/(2) + (1)/(6)

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