Calcule a integral definida.

∫ 1 2 x + 2 x + 1 2   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Essa é uma daquelas tradicionais integrais em que simplificamos o denominador fazer a substituição t = x + 1 . Assim, d t = d x . Além disso, x + 2 = t + 1 .

I = ∫ 1 2 x + 2 x + 1 2   d x = ∫ 2 3 t + 1 t 2   d t

Note que os limites de integração foram alterados!

Assim,

I = ∫ 2 3 1 t + t - 2 d t

Passo 2

Note que agora a integração é simples:

I = ln ⁡ t - 1 t 2 3

Portanto,

I = ln ⁡ 3 - 1 3 - ln ⁡ 2 + 1 2

Logo,

I = ln ⁡ 3 2 + 1 6

Resposta

ln ⁡ 3 2 + 1 6

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