Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.7 - Ex. 23
Teste a convergência ou divergência da série.
23.
Passo 1
Faaaaala, gente bonita!
Nossa questão exige que, pelo melhor método, classifiquemos a série em divergente ou convergente.
Olha direitinho pra essa série. Hummmmmmmm, ela tá te lembrando alguma outra?
Oh, yes! Uma série harmônica, que já tem um comportamento muito conhecido e é divergente!
Assim, vamos comparar duas séries através do Teste da Comparação do Limite, onde:
Se o nosso for um número finito e , então ambas as séries tem o mesmo comportamento (as duas divergem ou convergem).
Passo 2
Sendo
e
Jogamos na fórmula e fazemos a mágica acontecer:
Se a gente substituir , veremos que o argumento da tangente tenderá a .
Por isso,
Indeterminado. Vamos manipular ainda mais!
Passo 3
Perceba que podemos resolver esse limite se aplicarmos a regra de L’Hopital, ou seja, derivando os termos.
Na divisão, repete a primeira fração e inverte, multiplicando, a segunda fração:
Sendo que tende a , então:
Epa! Se o
Então podemos fazer a comparação.
Se a série harmônica é sempre divergente, então a outra série que nos deram para analisar também será divergente!