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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.1 - Ex. 27

f ( x , y ) = x^3 // y , C : y = x^2 // 2 , 0 <= x <= 2

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos a integral de f ( x , y ) = (x^3)/(y) ao longo da curva C , dada por y = (x^2)/(2) com 0 <= x <= 2 devemos lembrar que, de acordo com a teoria da página 363 , a integral de linha de uma função f ( x , y ) ao longo do caminho C é calculada por int_C f ( x , y , z ) |(d overset(‾)(r))/(d x)| d x , onde f ( x , y ) é uma função contínua em C e |(d overset(‾)(r))/(d x)| a velocidade instantânea sobre o caminho.

Passo 2

Devemos começar encontrando o vetor posição vec r que é dado por vec r = x vec i + y vec j . Do enunciado sabemos que y = (x^2)/(2) . Podemos, então, escrever o vetor posição como: vec r ( t ) = x vec i + (x^2)/(2) vec j , com 0 <= x <= 2 . Então, temos que (d vec r)/(d x) = vec i + x overset(‾)(j) e |(d vec r)/(d t)| = sqrt(1^2 + x^2) = sqrt(1 + x^2) A função f ( x , x ) = (2 x^3)/(x^2) = 2 x Podemos agora voltar a forma da integral dada por int_C f ( x , y ) |(d overset(‾)(r))/(d x)| d x . Fazendo as substituições de f ( x , y ) e |(d vec r)/(d t)| calculados anteriormente, teremos então que:

int_0^2 ( 2 x ) sqrt(1 + x^2) d x = [(2)/(3) (1 + x^2)^(3 // 2)]_0^2 = (2)/(3) (5^(3 // 2) - 1) = (10 sqrt(5) - 2)/(3)

Passo 3

Obs.: A integral int_0^2 ( 2 x ) sqrt(1 + x^2) d x foi resolvida por substituição como segue na sequência. Substituindo u = 1 + x^2 e d u = 2 x d x , teremos que:

int_0^2 ( 2 x ) sqrt(1 + x^2) d x = int_C u^(1 // 2) d u = [(2)/(3) u^(3 // 2)]_1^5

Resposta

int_0^2 ( 2 x ) sqrt(1 + x^2) d x = (10 sqrt(5) - 2)/(3)

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Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = x + y 3 , x 2 + y C consiste no arco da curva y = sen ⁡ x de ( 0,0 ) a ( 0 ,
f ( x , y ) = (x + y^2) // sqrt(1 + x^2) , C : y = x^2 // 2 entre ( 1,1 // 2 ) e ( 0,0 )