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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.1 - Ex. 13

Encontre a integral de linha de f ( x , y , z ) = x + y + z sobre o segmento de reta de ( 1,2 , 3 ) a ( 0 , - 1,1 ) .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos a integral deste exercício é preciso que você lembre o que estudou o capítulo 16 e o que consta na teoria da página 363 sobre a integral de linha. Verifique a seguir os passos para essa solução.

Passo 2

O primeiro passo para calcularmos a integral de f ( x , y , z ) = x + y + z sobre uma curva C , dada pela reta que passa pelos pontos ( 1,3 , 2 ) e ( 0 , - 1,1 ) devemos lembrar que a integral de linha é calculada por ∫ C   f ( x , y , z ) d r ‾ d t d t , onde f ( x , y , z ) = x + y + z é uma função contínua em C e d r ‾ d t a velocidade instantânea sobre a curva C .

Passo 3

Precisamos agora encontrar o vetor posição que localiza cada ponto sobre a curva C em relação a origem do sistema de coordenadas.Sabemos que o vetor a equação parametrizada da reta deve ser do tipo: r → = r → 0 - t u → Nesse caso r → 0 é o vetor posição do ponto inicial da reta e u → é um vetor de mesma direção da reta saindo do ponto ( 1,3 , 2 ) até ( 0 , - 1,1 ) .Podemos escrever o vetor u → = ( 0 i → - j → + k → ) - ( i → + 2 j → + 3 k → ) = - i → - 3 j → - 2 k → Voltando ao vetor posição:

r → = ( i → + 2 j → + 3 k → ) + t ( - i → - 3 j → - 2 k → ) = ( 1 - t ) i → + ( 2 - 3 t ) j → + ( 3 - 2 t ) k → ,  com  0 ≤ t ≤ 1

Passo 4

Assim, em seguida é necessário determinar o valor de f ( x , y , z ) = x + y + z e de d r ‾ d t A função será:

f ( x , y , z ) = x + y + z ,  com  x = ( 1 - t ) , y = ( 2 - 3 t )  e  z = ( 3 - 2 t ) f ( x , y , z ) = 6 - 6 t

e em seguida d r → d t = - i → - 3 j → - 2 k → , sendo que seu módulo será dado por:

d r ‾ d t = ( - 1 ) 2 + ( - 3 ) 2 + ( - 2 ) 2 = 14

Passo 5

Podemos agora voltar a forma da integral dada por ∫ 0 1   f ( x , y , z ) d r ‾ d t d t .Fazendo as substituições de f ( x , y , z ) e d r ‾ d t calculados anteriormente, encontramos o resultado desse exercício que é:

∫ 0 1   ( 6 - 6 t ) ( 14 ) d t = 6 14 t - t 2 2 0 1 = ( 6 14 ) 1 2 = 3 14

Resposta

Resposta nos passos.

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