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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.1 - Ex. 28

f ( x , y ) = (x + y^2) // sqrt(1 + x^2) , C : y = x^2 // 2 entre ( 1,1 // 2 ) e ( 0,0 )

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos a integral de f ( x , y ) = ((x + y^2))/(sqrt(1 + x^2)) ao longo da curva C , dada por y = (x^2)/(2) e está entre os pontos ( 1,1 // 2 ) e ( 0,0 ) , devemos lembrar que, de acordo com a teoria da página 363, a integral de linha de uma função f ( x , y ) ao longo do caminho C é calculada por int_C f ( x , y ) |(d overset(‾)(r))/(d t)| d t , onde f ( x , y ) é uma função contínua em C e |(d overset(‾)(r))/(d t)| a velocidade instantânea sobre o caminho.

Passo 2

Devemos começar encontrando o vetor posição vec r que é dado por vec r = x vec i + y vec j . Do enunciado sabemos que y = (x^2)/(2) . Se x = 1 - t , podemos, então, escrever o vetor posição como: vec r ( t ) = ( 1 - t ) vec i + (( 1 - t )^2)/(2) vec j , com 0 <= t <= 1 . Então, temos que (d vec r)/(d t) = - vec i + ( - 1 + t ) vec j e |(d overset(‾)(r))/(d t)| = sqrt(( - 1 )^2 + ( - 1 + t )^2) = sqrt(1 + (1 - 2 t + t^2)) = sqrt(1 + ( 1 - t )^2) A função f (1 - t , ( 1 - t )^2 // 2) = ([( 1 - t ) + (1)/(4) ( 1 - t )^4])/(sqrt(1 + ( 1 - t )^2)) .Podemos agora voltar a forma da integral dada por int_C f ( x , y ) |(d overset(‾)(r))/(d t)| d t .

Passo 3

Fazendo as substituições de f ( x , y ) e |(d overset(‾)(r))/(d t)| calculados anteriormente, teremos então o resultado final que é:

[[,,int_0^1,,(( 1 - t ) + (1)/(4) ( 1 - t )^4)/(sqrt(1 + ( 1 - t )^2)),sqrt(1 + ( 1 - t )^2),d,t,=,int_0^1,,[( 1 - t ) + (1)/(4) ( 1 - t )^4],d,t,=,[- (1)/(2) ( 1 - t )^2 - (1)/(20) ( 1 - t )^5]_0^1,=],[,,=,0,-,(- (1)/(2) - (1)/(20)),=,(11)/(20)]]

Passo 4

Obs.: A integral int_0^1 [( 1 - t ) + (1)/(4) ( 1 - t )^4] d t foi resolvida por substituição como segue: Substituindo u = 1 - t e d u = - d t , teremos que:

int_C ( 2 x ) sqrt(1 + x^2) d x = int_C - (u + (1)/(4) u^4) d u = - [(u^2)/(2) + (1)/(20) u^5]_C

Resposta

[[,,int_0^1,,(( 1 - t ) + (1)/(4) ( 1 - t )^4)/(sqrt(1 + ( 1 - t )^2)),sqrt(1 + ( 1 - t )^2),d,t],[,,=,(11)/(20)]]

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Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = x + y 3 , x 2 + y C consiste no arco da curva y = sen ⁡ x de ( 0,0 ) a ( 0 ,
f ( x , y ) = x^3 // y , C : y = x^2 // 2 , 0 = x = 2