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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.1 - Ex. 38

Inércia de uma haste fina Uma haste fina com densidade constante encontra-se ao longo do segmento de reta r(t) =

tj + (2 – 2t)k, 0 ≤ t ≤ 1, no plano yz. Encontre os momentos de

inércia da haste em relação aos três eixos coordenados

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A questão pede para encontrarmos o momento de inércia em relação aos 3 eixos coordenados de uma haste fina que se encontra ao longo da reta r → = t j → + ( 2 - 2 t ) k → , com 0 ≤ t ≤ 1 , no plano y z , e com densidade ( δ ) constante.

Para isso vamos utilizar as integrais de linha apresentadas na teoria do livro, página 365 , tabela 16.1:

I x = ∫ C     y 2 + z 2 δ d s = ∫ C     y 2 + z 2 δ d r ‾ d t d t I y = ∫ C     x 2 + z 2 δ d s = ∫ C     x 2 + z 2 δ d r ‾ d t d t I z = ∫ C     x 2 + y 2 δ d s = ∫ C     x 2 + y 2 δ d r ‾ d t d t

Passo 2

Precisamos do módulo do vetor posição, não é mesmo?Então, como temos o vetor posição r ‾ = t ‾ + ( 2 - 2 t ) k → , vamos calcular a sua derivada:

: d r → d t = j → - 2 k →

Agora já podemos encontrar o módulo do vetor posição d r ‾ d t :

d r ‾ d t = ( 1 ) 2 + ( - 2 ) 2 = 5

Passo 3

A partir daqui podemos calcular os momentos de inércia em relação aos eixos.Começando pelo eixo x :Substituindo d r → d t pelo valor encontrado e y = t , z = ( 2 - 2 t ) .Teremos então que:

I x = ∫ C     y 2 + z 2 δ d s = ∫ C     y 2 + z 2 δ d r ‾ d t d t = ∫ 0 1     t 2 + ( 2 - 2 t ) 2 δ 5 d t = ∫ 0 1     5 t 2 - 8 t + 4 δ 5 =   = δ 5 5 3 t 3 - 4 t 2 + 4 t 0 1 = 5 3 δ 5

Passo 4

Para o eixo y , com x = 0 , z = ( 2 - 2 t ) :

I y = ∫ C     x 2 + z 2 δ d s = ∫ C     x 2 + z 2 δ d r → d t d t = ∫ 0 1     0 2 + ( 2 - 2 t ) 2 δ 5 d t = ∫ 0 1     4 t 2 - 8 t + 4 δ 5 =   = δ 5 4 3 t 3 - 4 t 2 + 4 t 0 1 = 4 3 δ 5

Para o eixo z , com x = 0 , y = t :

I z = ∫ C   x 2 + y 2 δ d s = ∫ C   x 2 + y 2 δ d r ‾ d t d t = ∫ 0 1   0 2 + ( t ) 2 δ 5 d t = δ 5 t 3 3 0 1 = 1 3 δ 5

Resposta

Resposta nos passos.

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