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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.11 - Ex. 7f

Transformar a seguinte equação para coordenadas polares.

x 2 + y 2 - 6 y = 0

Passo 1

As coordenadas polares r ,   θ   podem ser transformadas em coordenadas cartesianas ( x , y ) pela seguinte substituição:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Esses resultados podem ser concluídos pela definição de seno e cosseno. Observe a figura abaixo:

cos ⁡ θ = x r ⇒ x = r cos ⁡ θ

sin ⁡ θ = y r ⇒ y = r sin ⁡ θ

De forma análoga, as coordenadas cartesianas podem ser transformadas em coordenadas polares. Elevando ambos os membros das equações a cima ao quadrado, podemos escrever:

x 2 = r 2 cos 2 ⁡ θ

y 2 = r 2 sin 2 ⁡ θ

Adicionando membro a membro, obtemos:

x 2 + y 2 = r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ ⇒ x 2 + y 2 = r 2

Assim, podemos reescrever nossa função da seguinte forma:

x 2 + y 2 - 6 y = 0 ⇒ r 2 - 6 r sin ⁡ θ = 0 ⇒ r - 6 sin ⁡ θ = 0 ⇒ r = 6 sin ⁡ θ

Resposta

r = 6 sin ⁡ θ

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