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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 3.10 - Ex. 1a

Para a função abaixo calcule: underset(x -> 2)(lim) (f (x) - f ( 2 ))/(x - 2)

f (x) = 3 x^2

Passo 1

Para o limite dado x -> 2^() , precisamos analisar os limites laterais primeiro e calcular f ( 2 ) .

Assim: f (2) = 3 (2)^2 = 12

Para x -> 2^+ , temos que:

underset(x -> 2^+)(lim) (f (x) - f ( 2 ))/(x - 2) = underset(x -> 2^+)(lim) (3 x^2 - 12)/(x - 2) = underset(x -> 2^+)(lim) (3 ( x + 2 ) ( x - 2 ))/(x - 2) = underset(x -> 2^+)(lim) 3 (x + 2) = 12

Passo 2

De forma análoga, para x -> 2^- , temos que:

underset(x -> 2^-)(lim) (f (x) - f ( 2 ))/(x - 2) = underset(x -> 2^-)(lim) (3 ( x + 2 ) ( x - 2 ))/(x - 2) = underset(x -> 2^-)(lim) 3 (x + 2) = 12

Passo 3

Como underset(x -> 2^+)(lim) (3 x^2 - 12)/(x - 2) = 12 e underset(x -> 2^-)(lim) (3 x^2 - 12)/(x - 2) = 12 , conclui-se que como os limites laterais são iguais e portanto underset(x -> 2^())(lim) (f (x) - f ( 2 ))/(x - 2) existe e é dado por:

underset(x -> 2^())(lim) (f (x) - f ( 2 ))/(x - 2) = 12

Essa afirmação pode ser feita devido a definição do seguinte Teorema:

Se f é definida em um intervalo aberto contendo a exceto possivelmente no ponto a , então

underset(x -> a)(lim) f (x) = L s e e s o m e n t e s e underset(x -> a^+)(lim) f (x) = L e underset(x -> a^-)(lim) f (x) = L .

Resposta

12

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