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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 6

Transforme o problema de valor inicial dado em um problema de valor inicial para duas equações de primeira ordem:

u ' ' + p t u ' + q t u = g t ;

u 0 = u 0   e   u ' 0 = u 0 '

Passo 1

Vamos começar definindo um sistema de primeira ordem. Tudo bem?

Um sistema de equações de primeira ordem é um sistema que depende apenas da primeira derivada de uma função. Como você pode ver a nossa equação depende da segunda derivada de u ( t ) , então é uma equação de segunda ordem. Então, o que iremos fazer é tentar transformar esta equação em um sistema de equações que dependam apenas da primeira derivada de uma função. Vamos lá???

Passo 2

Vamos começar definindo duas novas funções:

x 1 t = u ( t )

x 2 t = u ' ( t )

Então nossa equação fica:

u ' ' + p t u ' + q t u = g t

u ' ' + p t u ' + q t u = g t

x 2 ' + p t x 2 + q t x 1 = g t

Como condições iniciais temos:

x 1 0 = u 0 = u 0

x 2 0 = u ' 0 = u 0 '

Passo 3

Legal. Chegamos à primeira equação do sistema. Mas como você pode ver agora a equação tem duas variáveis, então para chegar à solução do sistema precisamos definir mais uma equação.

Nós definimos que:

x 1 t = u ( t )

x 2 t = u ' ( t )

Então x 2 pode ser escrito como:

x 2 t = x 1 ' ( t )

E o nosso sistema de equações de primeira ordem é:

x 2 t - x 1 ' t = 0 x 2 ' + p t x 2 + q t x 1 = g t

Resposta

O sistema de equações é:

x 2 t - x 1 ' t = 0 x 2 ' + p t x 2 + q t x 1 = g t

Com condições iniciais:

x 1 0 = u 0 ;

  x 2 0 = u 0 '

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