Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 4

Transforme a equação dada em um sistema de equações de primeira ordem:

Passo 1

Vamos começar esclarecendo o que é um sistema de primeira ordem. Tudo bem?

Um sistema de equações de primeira ordem é um sistema que depende apenas da primeira derivada de uma função. Como você pode ver a nossa equação depende da quarta derivada de , então é uma equação de quarta ordem. Então, o que iremos fazer é tentar transformar esta equação em um sistema de equações que dependam apenas da primeira derivada de uma função. Vamos lá???

Passo 2

Vamos começar definindo quatro novas funções:

Então nossa equação fica:

Passo 3

Legal. Chegamos à primeira equação do sistema. Mas como você pode ver agora temos quatro variáveis, então para chegar à solução do sistema precisamos definir mais três equações.

Nós definimos que:

Então pode ser escrito como:

Analogamente:

E

E o nosso sistema de equações de primeira ordem fica:

Resposta

O sistema de equações é:

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Transforme a equação dada em um sistema de equações de primeira ordem: u ' ' + 0,5 u ' + 2 u = 0

Nesse problema, vamos esquematizar a demonstração doTeorema 7.4.3no caso n=2 . Sejam x ( 1 ) e x ( 2 ) soluções da eq.(3)para αtβ , e seja W o wronskiano de x ( 1 ) e x ( 2 ) .Mostre que d W d t = d x

Considere os vetores x 1 = t 1 e x 2 = t 2 2 t .(a) Calcule o wronskiano de x 1 e x 2 .(b) Em que intervalos x 1 e x 2 são linearmente independentes?(c ) Que conclusão pode-se titrar sobre os coeficie

Sejam x 1 ,… ,x m soluções de x ' = P t x no intervalo α tβ . Suponha que P é contínua, e seja t 0 um ponto arbitrário no intervalo dado. Mostre que x 1 , … , x m são linearmente dependentes α tβ se e

9. Sejam x 1 ,… ,x n soluções linearmente independentes de x ' = P t x , e que P , é contínua em αtβ .a) Mostre que qualquer solução x = z t pode ser escrita na forma z t = c 1 x 1 t + … + c n x n t S