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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 12.6 - Ex. 12

Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.

9 x 2 - y 2 + z 2 = 0

Passo 1

Beleza, galera? Primeiro, vamos fazer os cortes, igualando cada variável a uma constante arbitrária k . Vamos começar com x :

  • x = k :

    • 9 x 2 - y 2 + z 2 = 0

    9 k 2 - y 2 + z 2 = 0

    y 2 - z 2 = 9 k 2

    y 2 9 k 2 - z 2 9 k 2 = 1

    Então esse corte é uma hipérbole, pra k ≠ 0   . Mas se k = 0 , teremos:

    y 2 - z 2 = 9   .   0 2

    y 2 - z 2 = 0

    y 2 = z 2

    y = ± z

    Ou seja, teremos um par de retas concorrentes pra x = 0 .

    Passo 2

    Continuando:

  • y = k :

    • 9 x 2 - k 2 + z 2 = 0

    9 x 2 + z 2 = k 2

    x 2 k 2 9 + z 2 k 2 = 1

    Aqui temos uma elipse, pra k ≠ 0 .

  • z = k :

9 x 2 - y 2 + k 2 = 0

y 2 - 9 x 2 = k 2

y 2 k 2 - x 2 k 2 9 = 1

E agora temos uma hipérbole pra k ≠ 0 . Mas se k = 0 , teremos:

y 2 - 9 x 2 = 0

y 2 = 9 x 2

y = ± 3 x

Ou seja, teremos um par de retas quando z = 0 , beleza?

Passo 2

Show! Juntando todas essas informações, podemos esboçar a superfície:

Veja que isso é um cone elíptico, certo?

Resposta

Cone elíptico

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1 . Determine o plano tangente à superfície dada, no ponto dado. σ( u ,v )=( u ,v ,u 2+v 2 ) ,n op o n t oσ( 1 ,1 ) . σ( u ,v )=( cos ⁡ u , sin ⁡ u , v ) ,n op o n t oσ( π 2 ,1 ) . σ( u ,v )=( 2 u+v ,
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Descreva e esboce a superfície. y 2 + 4 z 2 = 4
Nos exercícios 1 a 6 , esboce o gráfico da superfície de equação dada. x + 2 y - 6 = 0 .