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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 12.6 - Ex. 15

Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.

- x 2 + 4 y 2 - z 2 = 4

Passo 1

Beleza, galera? Primeiro, vamos fazer os cortes, igualando cada variável a uma constante arbitrária k . Vamos começar com x :

  • x = k :

    • - x 2 + 4 y 2 - z 2 = 4

    - k 2 + 4 y 2 - z 2 = 4

    4 y 2 - z 2 = 4 + k 2

    Então esse corte é uma hipérbole, pra qualquer k .

    Passo 2

    Continuando:

  • y = k :

    • - x 2 + 4 k 2 - z 2 = 4

    x 2 + z 2 = 4 ( k 2 - 1 )

    Ou seja, o corte é uma elipse, quando k 2 - 1 > 0 , isto é,

    k 2 > 1

    k < - 1       o u       k > 1

  • z = k :

- x 2 + 4 y 2 - k 2 = 4

4 y 2 - x 2 = 4 + k 2

Novamente, temos uma hipérbole pra qualquer k .

Passo 2

Show! Juntando todas essas informações, podemos esboçar a superfície:

Veja que isso é um hiperboloide de duas folhas com eixo no eixo y , beleza?

Resposta

Hiperboloide de duas folhas

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Descreva e esboce a superfície. x y = 1
Descreva e esboce a superfície. z = 1 - y 2
Descreva e esboce a superfície. y = z 2
Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a. y 2 = x 2 + 1 9 z 2
Descreva e esboce a superfície. z = s e ny