Enunciado

Use a definição 2.4 . 1 para provar que

lim x → - 3 ⁡ 5 - x 3 + x = + ∞

Definição 2.4 . 1 :

Seja f uma função definida em todo número de um intervalo aberto I contendo a , exceto possivelmente no próprio a . Quando x tende a a , f x cresce indefinidamente e escrevemos

lim x → a ⁡ f x = + ∞

Se para qualquer número N > 0 , existir um δ > 0 tal que

Se 0 < x - a < δ então f x > N

Passo 1

Essas questões pela definição são bem chatinhas. Mas vou te mostrar como é a ideia geral.

Precisamos achar o valor de δ para um N qualquer onde 0 < x - a < δ

Na prática fazemos f x > N e tentamos achar x - a .

Nesse caso, onde a = - 3 , temos que partir de

f x > N → 5 - x 3 + x > N

E chegarmos em x - - 3 = x + 3

Vamos com calma e conseguimos pegar o passo a passo

Passo 2

Temos

5 - x 3 + x > N

Vamos começar tentando achar o 3 + x naquela fração.

Para isso, vamos ver que

5 - x = 5 + 3 - 3 - x = 8 - 3 - x

Rapaz, que diabos é isso. Calma, se colocarmos o - 1 em evidência em - 3 - x aparece o x + 3

5 - x = 8 - x + 3

Colocando isso na fração, vamos ter

8 - x + 3 x + 3

Separando a fração

8 x + 3 - 1

Pela desigualdade triangular vamos ter

8 x + 3 - 1 ≤ 8 x + 3 + 1

Fazendo 1 = 1

8 x + 3 - 1 ≤ 8 x + 3 + 1

Como

N < 8 x + 3 - 1

Entao temos

8 x + 3 + 1 > N

8 x + 3 > N - 1

Se tivermos

N - 1 > 0

Podemos multiplicar essa desigualdade por x + 3 e dividir por N - 1 . Que assim já aparece o x + 3 menor que alguém. Podemos fazer isso porque tanto x + 3 e N - 1 são positivos.

8 N - 1 > x + 3

Escrevendo de forma mais próxima do que queremos

x + 3 < 8 N - 1

Então se pegarmos

δ = 8 N - 1

Garantirmos que

f x > N

Porque é só fazer o caminho inverso que escrevemos aqui. Mas calma, isso tudo é válido se N - 1 > 0 . Mas e se o N - 1 não for maior que 0 ? Lascou-se?

Passo 3

Vamos olhar o caso de N - 1 menor ou igual a 0

N - 1 ≤ 0

Então

N ≤ 1

Então o valor de N que começa a atrapalhar a nossa vida é o 1 . Aqui vai uma jogada meio louca, mas que nós próximos problemas vai te ajudar.

Vamos pegar o δ sendo exatamente esse valor de N que dá problema.

δ = 1

Ta e ai?

Bem, sabemos que N é menor que esse valor. Então

δ ≥ N

Se conseguirmos sair de

x + 3 < δ = 1

E chegar na função f x vamos ter um valor de δ para o resto dos valores de N . Aqueles menores que 1 .

Temos

x + 3 < 1

Abrindo esse módulo

- 1 < x + 3 < 1

Subtraindo 8 dessa desigualdade

- 9 < x - 5 < - 7

Passando o módulo, vamos ter

7 < x - 5 < 9

Mas

x - 5 = - 5 - x = - 1 5 - x = 5 - x

Então

7 < x - 5 < 9

Vamos pegar a inequação

x + 3 < δ = 1

E inverter

1 x + 3 > 1 1

Multiplicando com a inequação de 5 - x vamos ter

5 - x x + 3 > 7

Mas N é menor ou igual a 1 aqui, então

5 - x x + 3 > 7 > N

E temos

f x > N

Para o resto dos valores de N que faltavam

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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