Use a definição para provar que

Definição :

Seja uma função definida em todo número de um intervalo aberto contendo , exceto possivelmente no próprio . Quando tende a , cresce indefinidamente e escrevemos

Se para qualquer número , existir um tal que

Se então

Temos

Vamos começar tentando achar o naquela fração.

Para isso, vamos ver que

Rapaz, que diabos é isso. Calma, se colocarmos o em evidência em aparece o

Colocando isso na fração, vamos ter

Separando a fração

Pela desigualdade triangular vamos ter

Fazendo

Como

Entao temos

Se tivermos

Podemos multiplicar essa desigualdade por e dividir por . Que assim já aparece o menor que alguém. Podemos fazer isso porque tanto e são positivos.

Escrevendo de forma mais próxima do que queremos

Então se pegarmos

Garantirmos que

Porque é só fazer o caminho inverso que escrevemos aqui. Mas calma, isso tudo é válido se . Mas e se o não for maior que ? Lascou-se?

Vamos olhar o caso de menor ou igual a

Então

Então o valor de que começa a atrapalhar a nossa vida é o . Aqui vai uma jogada meio louca, mas que nós próximos problemas vai te ajudar.

Vamos pegar o sendo exatamente esse valor de que dá problema.

Ta e ai?

Bem, sabemos que é menor que esse valor. Então

Se conseguirmos sair de

E chegar na função vamos ter um valor de para o resto dos valores de . Aqueles menores que .

Temos

Abrindo esse módulo

Subtraindo dessa desigualdade

Passando o módulo, vamos ter

Mas

Então

Vamos pegar a inequação

E inverter

Multiplicando com a inequação de vamos ter

Mas é menor ou igual a aqui, então

E temos

Para o resto dos valores de que faltavam