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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 5

Use a derivação implícita para determinar d y // d x em

x^2 (x - y)^2 = x^2 - y^2

Passo 1

Para obtermos o termo d y // d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

(d)/(d x) f (x) = (d f)/(d x) * (d x)/(d x) = (d f)/(d x)

(d)/(d x) g (y) = (d g)/(d x) * (d y)/(d x)

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y // d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

[x^2 (x - y)^2]^' = [ x^2 - y^2 ] '

Aplicando a regra do produto, temos:

[x^2]^' (x - y)^2 + x^2 [(x - y)^2]^' = [x^2]^' - [y^2] '

2 x (x - y)^2 + x^2 [(x - y)^2]^' = 2 x - 2 y * (d y)/(d x)

Precisamos agora calcular a derivada de (x - y)^2 . E como faremos agora? Basta aplicar a regra

da cadeia!

Passo 3

Vejamos separadamente como aplicar a regra da cadeia. Temos então:

[(x - y)^2]^' = 2 (x - y) * [ x - y ] '

A derivada da função de fora (u^2) aplicada a função de dentro ( x - y ) vezes a derivada da função de dentro. Exatamente como sempre fizemos! Continuando o cálculo, temos:

[(x - y)^2]^' = 2 (x - y) * [1 - (d y)/(d x)]

[(x - y)^2]^' = 2 (x - y) - 2 ( x - y ) (d y)/(d x)

Passo 4

Continuando o cálculo da nossa derivada, temos:

2 x (x - y)^2 + x^2 [(x - y)^2]^' = 2 x - 2 y * (d y)/(d x)

2 x (x - y)^2 + x^2 (2 (x - y) - 2 (x - y) (d y)/(d x)) = 2 x - 2 y * (d y)/(d x)

2 x (x^2 - 2 x y + y^2) + 2 x^3 - 2 x^2 y - 2 x^2 (x - y) * (d y)/(d x) = 2 x - 2 y * (d y)/(d x)

4 x^3 - 6 x^2 y + 2 x y^2 - 2 x^2 (x - y) * (d y)/(d x) = 2 x - 2 y * (d y)/(d x)

[y - x^2 (x - y)] * (d y)/(d x) = x - 2 x^3 + 3 x^2 y - x y^2

(d y)/(d x) = (x - 2 x^3 + 3 x^2 y - x y^2)/(y - x^3 + x^2 y)

Resposta

(d y)/(d x) = (x - 2 x^3 + 3 x^2 y - x y^2)/(y - x^3 + x^2 y)

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