Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 5
Use a derivação implícita para determinar em
Passo 1
Para obtermos o termo , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto quanto como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções e
Ao derivarmos as funções que depende de , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por !
Vejamos abaixo na prática como isto funciona.
Passo 2
Vamos derivar a nossa função:
Aplicando a regra do produto, temos:
Precisamos agora calcular a derivada de . E como faremos agora? Basta aplicar a regra
da cadeia!
Passo 3
Vejamos separadamente como aplicar a regra da cadeia. Temos então:
A derivada da função de fora aplicada a função de dentro vezes a derivada da função de dentro. Exatamente como sempre fizemos! Continuando o cálculo, temos:
Passo 4
Continuando o cálculo da nossa derivada, temos: