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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 25

Nos Exercícios 21-26, use derivação implícita para determinar d y d x e depois d ² y d x ² .

25. 2 y = x - y

Passo 1

Então pessoal, assim como manda o manual, ou seja, assim como discutido na seção 7 do George, a técnica que devemos utilizar para derivar essa função implicitamente é a seguinte:

1. Derivar ambos os lados da equação em relação a x , considerando y como uma função derivável de x ;

2. Agrupar os termos que possuem d y d x em um lado da equação e isolar d y d x .

Sabendo disso, já podemos tranquilamente derivar a função que nos foi pedida, beleza? Bora lá!

Passo 2

Então galera, aplicando o passo 1 que comentamos acima, teremos o seguinte:

2 . 1 2 . y - 1 2 . d y d x = 1 - d y d x

y - 1 2 . d y d x = 1 - d y d x

Agora que já derivamos, aplicando o passo 2, teremos:

y - 1 2 . d y d x + d y d x = 1

d y d x . y - 1 2 + 1 = 1

∴ d y d x = 1 y - 1 2 + 1

Passo 3

Agora que descobrimos a derivada de primeira ordem, basta derivarmos novamente para descobrir a derivada de segunda ordem, ok? Fazendo isso, teremos:

d ² y d x ² = - 1 . y - 1 2 + 1 - 2 . y - 1 2 + 1 '

Note que utilizamos a regra da cadeia para fazer a derivação. Continuando...

d ² y d x ² = - 1 . y - 1 2 + 1 - 2 . - 1 2 . y - 3 2 . d y d x

Mas como já calculamos d y d x , substituindo:

d ² y d x ² = - 1 . y - 1 2 + 1 - 2 . - 1 2 . y - 3 2 . 1 y - 1 2 + 1

∴ d ² y d x ² = y - 3 2 2 . y - 1 2 + 1 3

Resposta

d ² y d x ² = y - 3 2 2 . y - 1 2 + 1 3

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