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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 19

Determine (d r)/(d theta) nos Exercícios 17-20.

19. s e n (r theta) = (1)/(2)

Passo 1

Então pessoal, assim como manda o manual, ou seja, assim como discutido na seção 7 do George, a técnica que devemos utilizar para derivar essa função implicitamente é a seguinte:

1. Derivar ambos os lados da equação em relação a theta , considerando r como uma função derivável de theta ;

2. Agrupar os termos que possuem (d r)/(d theta) em um lado da equação e isolar (d r)/(d theta) .

Sabendo disso, já podemos tranquilamente derivar a função que nos foi pedida, beleza? Bora lá!

Passo 2

Aplicando o passo 1, temos:

cos (r theta) . (r theta) ' = 0

Para derivarmos aquela multiplicação ali, teremos que utilizar a regra do produto, que nos diz o seguinte:

(f . g)^' = f^' . g + f . g '

(r theta)^' = (d r)/(d theta) . theta + r

Voltando na equação derivada, teremos:

cos (r theta) . ((d r)/(d theta) . theta + r) = 0

Passo 3

Agora que derivamos ambos os membros da equação, basta aplicarmos o passo 2, isolando a derivada:

cos (r theta) . (d r)/(d theta) . theta + cos (r theta) . r = 0

(d r)/(d theta) = (- cos (r theta) . r)/(cos (r theta) . theta)

:. (d r)/(d theta) = - (r)/(theta) , cos (r theta) != 0

Resposta

(d r)/(d theta) = - (r)/(theta) , cos (r theta) != 0

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