Use a derivação implícita para determinar d y // d x em x^3 + y^3 = 18 x y

(d y)/(d x) = (18 y - 3 x^2)/(3 y^2 - 18 x)

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 2

Use a derivação implícita para determinar em

Passo 1

Para obtermos o termo , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto quanto como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções e

Ao derivarmos as funções que depende de , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

Aplicando a regra do produto, temos:

Reorganizando,

Resposta

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Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãoi) x e y + x y = 3

Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãom) 2 y + sen ⁡ y = x

Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãoc) x y 2 + 2 y = 3

Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãog) x 2 + y 2 + 2 y = 0

Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãod) y 5 + y = x