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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 28

Use a fórmula do comprimento de arco do Exercício 26 para encontrar o comprimento de arco da curva.

x = 1 + t 2 ,       y = 1 + t 3     0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

E aí, tudo joia?

A gente vai usar essa fórmula aqui ó:

∫ a b d x d t 2 + d y d t 2   d t

Então, a gente vai derivar cada uma em função de t . Bora lá!

Passo 2

A gente tem que:

d x d t = 2 1 + t 1 = 2 ( 1 + t )  

d y d t = 3 1 + t 2 ( 1 ) = 3 1 + t 2

Aí a gente joga na fórmula:

∫ 0 1 2 1 + t 2 + 3 1 + t 2 2   d t

∫ 0 1 4 1 + t 2 + 9 1 + t 4   d t

∫ 0 1 1 + t 2 4 + 9 1 + t 2 d t

∫ 0 1 1 + t 4 + 9 1 + 2 t + t 2   d t

∫ 0 1 1 + t 13 + 18 t + 9 t 2   d t

Passo 3

Vamos fazer uma substituiçãozinha aqui:

u = 9 t 2 + 18 t + 13

d u = 18 t + 18 → d u 18 = t + 1

∫ u   d u 18

= 1 18 2 3 u 3 2

= 1 27 u 3 2

Agora a gente volta pra nossa variável t ...

= 1 27 9 t 2 + 18 t + 13 3 2 0 1

= 1 27 9 + 18 + 13 3 2 - 1 27 13 3 2

= 1 27 40 3 2 - 13 3 2

E prontinho! Achamos o comprimento da curva😉

Resposta

1 27 40 3 2 - 13 3 2

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Desenhe a curva dada (coordenadas polares).rho^2 = (1)/(1 + sen^2 theta)
Desenhe a curva dada (coordenadas polares).rho = 1 - sen theta
Desenhe a curva dada (coordenadas polares).rho = tg theta , - (pi)/(2)theta(pi)/(2)
Desenhe a curva dada (coordenadas polares).rho = 2
Desenhe a curva dada (coordenadas polares).rho = cos 3 theta