Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 16
O segmento curvilíneo de até pode também ser expresso como o gráfico de de até . Monte duas integrais que deem o comprimento de arco desse segmento, uma usando integração em relação a e a outra usando integração em . Obtenha uma substituição que mostre que essas duas integrais são iguais
Passo 1
E aí, tudo joia?
A gente vai montar a integral do comprimento pros dois casos, usando a relação:
Vamos fazer do caso em que primeiro.
Vamos ter:
E aí jogando na integral:
Passo 2
Vamos fazer agora com . Temos que:
E aí montando a integral, temos:
Isso aí! essa é a expressão pra calcular em função de .
Passo 3
Vamos verificar que as duas são iguais agora. Vamos pegar a primeira expressão de volta.
Vamos fazer a substituição . Aí teremos os limites de integração sendo e . Vai ficar assim:
Sendo que
Que é a mesma expressão de . Ou seja, comprovamos que o comprimento é o mesmo calculado das duas formas😉