- Mostre que o comprimento de arco total da elipse é dado por:
- Use um CAS ou uma calculadora científica com integração numérica para aproximar o comprimento de arco de (a). Arredonde sua resposta para duas casas decimais.
- Suponha que as equações paramétricas de (a) descrevam a trajetória de uma partícula movendo-se no plano , onde está em segundos e e , em centímetros. Use um CAS ou uma calculadora científica com integração numérica para aproximar a distância percorrida pela partícula de até . Arredonde sua resposta para duas casas decimais.
Passo 1
E aí, tudo joia?
- A gente quer mostrar que o comprimento desse arco é isso mesmo. Pra isso, só calculando usando a fórmula:
- Agora pra calcular, eu vou usar o Desmos, que nos dá um comprimento aproximado de...
- E agora, a gente quer a mesma integral só que com os limites de integração assim:
Então, a gente vai derivar cada uma em função de . Bora lá!
Passo 2
Aí agora a gente monta a integral:
Vamos substituir: :
E como , essa integral é o mesmo que:
Prontinho! Mostramos o que pediram😉
Passo 3
Passo 4
Calculando de novo no Desmos, a gente acha:
Agora acabamos😉
Resposta
- Demonstração.
Exercícios de Livros Relacionados
Desenhe a curva dada (coordenadas polares).ρ = 2 - cos(θ)
Ache o comprimento do arco da curva 6 * y^2 = x * (x - 2)^2 no primeiro quadrante, do ponto (2,0) ao ponto (8,4 * raiz(3))
Ache as coordenadas do centro de massa de quatro partículas com igual massa localizadas nos pontos (3,0), (2,2), (2,4) e (-1,2) .
28- Uso de segmentos tangentes para deduzir a fórmula de comprimento das curvas Suponha que f seja lisa em [ a , b ] e divida o intervalo [ a , b ] da maneira usual. Em cada subintervalo x k - 1 , x k
Use um sistema de computação algébrica ou uma tabela de integrais para achar o comprimento de arco exato da curva y = ln(x) que está entre os pontos (1,0) e (2, ln(2)) .