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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 33

  1. Mostre que o comprimento de arco total da elipse x = 2 cos ⁡ t ,   y = s e n   t   0 ≤ t < 2 π é dado por:

    2. 4 ∫ 0 π / 2 1 + 3 s e n 2 t   d t

  2. Use um CAS ou uma calculadora científica com integração numérica para aproximar o comprimento de arco de (a). Arredonde sua resposta para duas casas decimais.

  3. Suponha que as equações paramétricas de (a) descrevam a trajetória de uma partícula movendo-se no plano x y , onde t está em segundos e x e y , em centímetros. Use um CAS ou uma calculadora científica com integração numérica para aproximar a distância percorrida pela partícula de t = 1,5 s até t = 4,8   s . Arredonde sua resposta para duas casas decimais.

Passo 1

E aí, tudo joia?

  1. A gente quer mostrar que o comprimento desse arco é isso mesmo. Pra isso, só calculando usando a fórmula:

    2. ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2   d t

    Então, a gente vai derivar cada uma em função de t . Bora lá!

    d x d t =   - 2 s e n   t

    d y d t = cos ⁡ t

    Passo 2

    Aí agora a gente monta a integral:

    ∫ 0 2 π - 2 s e n   t 2 + cos ⁡ t 2   d t

    ∫ 0 2 π 4   s e n 2 t + cos 2 ⁡ t   d t

    Vamos substituir: cos 2 ⁡ t = 1 - s e n 2 t :

    ∫ 0 2 π 4 s e n 2 t + 1 - s e n 2 t   d t

    ∫ 0 2 π 3 s e n 2 t + 1   d t

    E como 2 π = 4 ⋅ π 2 , essa integral é o mesmo que:

    = 4   ∫ 0 π 2 3 s e n 2 t + 1   d t

    Prontinho! Mostramos o que pediram😉

    Passo 3

  2. Agora pra calcular, eu vou usar o Desmos, que nos dá um comprimento aproximado de...

    3. L ≈ 9,69   c m

    Passo 4

  3. E agora, a gente quer a mesma integral só que com os limites de integração assim:

∫ 1,5 4,8 3 s e n 2 t + 1   d t

Calculando de novo no Desmos, a gente acha:

L ≈ 5,16   c m

Agora acabamos😉

Resposta

  1. Demonstração.
  2. L ≈ 9,69   c m
  3. L ≈ 5,16   c m
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Use um sistema de computação algébrica ou uma tabela de integrais para achar o comprimento de arco exato da curva y = ln ⁡ x que está entre os pontos ( 1,0 ) e ( 2 , ln ⁡ 2 ) .
Use um sistema de computação algébrica ou uma tabela de integrais para achar o comprimento de arco exato da curva y = x 4 / 3 que está entre os pontos ( 0,0 ) e ( 1,1 ) .
Escreva uma integral para o comprimento da curva. Use sua calculadora para encontrar o comprimento da curva com precisão de quatro casas decimais. x = y 2 - 2 y ,0 ≤ y ≤ 2
Encontre o comprimento exato da curva. y = x - x 2 + s e n - 1 x
Encontre o comprimento exato da curva. y = 1 4 x 2 - 1 2 ln ⁡ x , 1 ≤ x ≤ 2